Expression de la loi d’addition des vitesses en relativité restreinte.
En relativité restreinte, comme la vitesse de la lumière c ne peut pas être dépassée, la loi d’addition des vitesses doit être modifiée.
En bref
Considérons un système de référence ∑’ se déplaçant à la vitesse relative vr par rapport à un autre système ∑. On tire une balle à la vitesse v’ dans ∑’. Comment obtenir la vitesse v de la balle dans ∑ ?
En cinématique classique, la vitesse v de la balle dans ∑ s’obtient simplement en additionnant la vitesse relative de ∑’ à la vitesse de la balle :
En cinématique relativiste, comme la vitesse de la lumière c ne peut pas être dépassée, la loi d’addition des vitesses doit être modifiée. Elle s’obtient à partir de la transformation de Lorentz et s’exprime de la manière suivante :
Objectifs
• obtenir la loi d’addition des vitesses en cinématique relativiste en utilisant la transformation de Lorentz
• savoir utiliser cette loi dans diverses situations
• être capable d’interpréter différentes représentations graphiques de $\beta$ en fonction de $\beta’$ et $\beta_r$.
Activités
Etablissez la loi d’addition des vitesses en cinématique relativiste en parcourant les étapes suivantes :
- Exprimez la vitesse de la balle dans $\Sigma’$
- Exprimez la vitesse de la balle dans $\Sigma$
- Utilisez la transformation de Lorentz pour exprimer $\Delta x$ et $\Delta t$ à l’aide de $\Delta x’$ et $\Delta t’$
- Formez le quotient $\frac{\Delta x}{\Delta t}$, posez $\beta_r =\frac{v_r}{c}$ et simplifiez par $\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v_r}{c}})^2}$
- Simplifiez l’égalité obtenue sous 4 par $\Delta t’$, posez $\frac{\Delta x}{\Delta t}=\beta$ et $\frac{\Delta x’}{\Delta t’}=\beta’$ et vous aurez la loi d’addition recherchée !
1. Une balle est tirée à la vitesse $\beta’= 0.75$ à partir d’un mobile se déplaçant à la vitesse $\beta_r= 0.75$. Calculez la vitesse $\beta$ de la balle par rapport au laboratoire. La balle et le mobile se déplacent selon une direction commune.
2. Une particule se déplace dans un accélérateur à une vitesse égale à 0.9 c lorsqu’elle se désintègre en émettant un photon dans la direction de son déplacement. Calculez la vitesse du photon par rapport au laboratoire :
a) lorsque le photon émis se déplace dans le même sens que la particule
b) lorsque le photon émis se déplace dans un sens opposé au déplacement de la particule.
Comment ces résultats sont-ils modifiés si la particule se déplace à une vitesse égale à 0.1 c avant de se désintégrer ?
3. Représentez graphiquement la vitesse $\beta$ en fonction de $\beta’$ pour différentes valeurs de $\beta_r$ (0.2, 0.4, 0.6, 0.8 et 1).
4. Utilisez une représentation en 3 dimensions en reportant $\beta’$ selon l’axe x, $\beta_r$ selon l’axe y et $\beta$ selon l’axe z.
Voir aussi : Russell’s Thought Experiment in Special Relativity from Wolfram Demonstrations Project