Albert Flocon s’est intéressé au théorème de Desargues et s’est demandé si ce dernier était toujours vrai sur la sphère.
par bernard.vuilleumier, Vinciane Vuilleumier
Albert Flocon, graveur amoureux de la ligne, de la perspective et de ses variations, souhaite vérifier par des expérimentations pratiques, le théorème de Girard Desargues sur la sphère. Nous proposons dans cet article d’illustrer cette vérification. La lecture des images utilisées ne nécessite aucune connaissance mathématique et la vérification se fait uniquement en examinant des intersections de lignes.
Que dit le théorème
Les deux triangles (non plats) ABC et A’B’C’ ont leurs sommets deux à deux distincts, A de A’, B de B’ et C de C’, sur trois droites distinctes passant respectivement par A et A’, B et B’, C et C’ :
- si les trois droites sont concourantes en un même point P, alors les trois points Q, R et S sont alignés
- si les trois points Q, R et S sont alignés, alors les trois droites sont concourantes en un même point P.
Les points Q, R et S sont à l’intersection des droites passant respectivement par A, B et A’, B’ ; B, C et B’, C’ ; A, C et A’, C’.
Comment passer du plan à la sphère
- En construisant une configuration de Desargues dans un plan
- En la projetant (projection centrale) sur la sphère
Configuration de Desargues dans le plan
Le triangle bleu A’B’C’ est la projection du triangle rouge ABC depuis le point P (perspecteur). Les points S, Q et R sont alignés sur la perspectrice verte (droite de Desargues)
Illustration du théorème sur la sphère
En projetant la configuration de Desargues sur la sphère, on obtient :
La question que se posait Flocon
Dans un carnet de 1981, Flocon écrit « Vérifier si le théorème de Desargues est vrai sur une sphère ! C’est-à-dire s’il y a six grands cercles qui se coupent deux à deux sur un septième si leurs intersections sont sur trois grands cercles concourants. » [1]
Les droites projetées sur la sphère deviennent des grands cercles. Chaque triangle donne lieu à trois grands cercles (seuls les arcs de ces grands cercles correspondant aux côtés des triangles sont dessinés pour faciliter la lecture de l’image). Ces six grands cercles se coupent deux à deux aux points S, Q, R situés sur un grand cercle (en vert. N.B. il faut prolonger les arcs AC et A’C’ pour atteindre R). Et chacune de ces intersections est bien sur trois grands cercles concourants (un vert, un rouge et un bleu ) [2]