Pour le sens commun, la continuité entraîne la monotonie. Si vous
parlez à vos élèves d’une fonction f(x) continue en x=a et en x=b ainsi que de x=a à x=b, ils croiront certainement qu’il est alors possible de trouver, pour a ou pour b ou pour n’importe quelle valeur de x située entre a et b, un intervalle suffisamment petit pour que, entre a et a+w , ou entre b et b-w , ou entre x et x±w, f(x) ne fasse que l’une des deux choses suivantes : croître constamment ou décroître constamment. Cette intuition est très tenace. Les plus grands s’y sont d’ailleurs laissés prendre : Cauchy (1789-1857) n’a-t-il pas cru presque toute sa vie qu’une fonction continue était nécessairement
différentiable !
Voir aussi, from the Wolfram Demonstrations Project :
– Riemann’s Example of a Continuous but Nowhere Differentiable Function
– Limit of a Family of Curves