Corrigé succinct des exercices de l’article Gammes.
Exercice 1
a) Selon la légende, Pythagore aurait établi que la hauteur du son produit par une corde tendue qui vibre était proportionnelle à la tension de la corde : en suspendant un poids à une corde, il obtenait une certaine note, et en doublant le poids (donc la tension de la corde), il obtenait une note située une octave au-dessus.
b) En doublant la tension de la corde du dispositif expérimental, on constate que le son obtenu ne se situe pas une octave au-dessus.
c) La hauteur du son produit par une corde qui vibre est proportionnelle à la racine carrée de la tension de la corde : pour obtenir un son situé à l’octave du son produit par une corde vibrante, il faut donc quadrupler la tension de la corde et pas seulement la doubler.
Exercice 2
a) Le rapport des fréquences de vibration de deux cordes produisant des notes situées à l’octave l’une de l’autre vaut 2. Par définition, l’intervalle entre ces deux notes vaut 2. Comme il y a douze intervalles égaux dans la gamme tempérée, l’intervalle entre deux notes consécutives (demi-ton) vaudra : $2^{\frac{1}{12}}$. Les fréquences des 13 notes s’obtiennent donc (dans Mathematica), avec l’instruction :
b) La différence relative en % entre le ton de la gamme de Pythagore et celui de la gamme tempérée vaut environ 0.23 % et est donné par :
Exercice 3
a) La moyenne harmonique de deux grandeurs a et b est donnée par $m_{harmonique}=\frac{2ab}{a+b}$. Si une corde de longueur 2l donne, en vibrant, le do et une corde de longueur l le do situé une octave au-dessus, le sol sera donné par une corde dont la longueur est la moyenne harmonique de ces deux longueurs : $\frac{4}{3}l$.
b) La moyenne arithmétique de deux grandeurs a et b est donnée par $m_{arithmétique}$=$\frac{a+b}{2}$. Si une corde de longueur 2l donne, en vibrant, le do et une corde de longueur l le do situé une octave au-dessus, le fa sera donné par une corde dont la longueur est la moyenne arithmétique de ces deux longueurs : $\frac{3}{2} l$.
c) Si la longueur de la corde donnant le do grave vaut 2l, les notes si, mi, la, ré sont données respectivement par des cordes ayant les longueurs :
$\frac{9}{8} l$, $\frac{27}{16} l$, $\frac{81}{64} l$, $\frac{243}{128} l$.
Exercice 4
Les longueurs de corde sont en rapport inverse des fréquences : pour augmenter une fréquence, il faut diminuer la longueur l de la corde vibrante qui la produit. On obtient donc les longueurs suivantes :
| l | 8/9 l | 64/81 l | 3/4 l | 2/3 l | 16/27 l | 128/243 l | 1/2 l |
| l | 8/9 l | 4/5 l | 3/4 l | 2/3 l | 3/5 l | 8/15 l | 1/2 l |
| l | l/21/6 | l/21/3 | l/25/12 | l/27/12 | l/23/4 | l/211/12 | l/2 |
Exercice 5
L’intervalle entre deux notes vaut :
– 2 pour une octave dans toutes les gammes
– $\frac{3}{2}$ pour une quinte pythagoricienne
– $\frac{3}{2}$ pour une quinte de la gamme de Zarlino
– $2^{\frac{7}{12}}$ pour une quinte de la gamme tempérée.
Exercice 6
– L’intervalle entre deux notes situées à 7 octaves l’une de l’autre vaut :
et l’intervalle entre deux notes situées à 12 quintes pythagoriciennes :
– Le comma pythagoricien s’obtient en faisant le quotient des deux intervalles précédents :
– L’équation p quintes pythagoriciennes = q octaves, où p et q sont des entiers s’écrit $\frac{3}{2}^p=2^q$. Elle ne possède pas d’autre solution que p=q=0.