Pendulette à échappement Frainier

Modélisation

De la fausse piste au modèle utile

Le réglage d’une pendulette comportant un échappement de type « Frainier » est contre intuitif : lorsqu’elle retarde, il faut allonger la pendulette et lorsqu’elle avance il faut la raccourcir.

Article mis en ligne le 9 octobre 2025

dernière modification le 28 octobre 2025

par Bernard Chabloz, Bernard Vuilleumier, ChatGPT

La pendulette Frainier « doigt-coulisse » (brevet 1908) comporte un doigt fixe sur un disque échancré solidaire de l’axe moteur. Ce doigt coulisse librement dans une lumière verticale d’un bras oscillant solidaire de la pendulette. Dans ce montage, l’axe fait un tour par oscillation complète (aller-retour) de la pendulette. Le doigt décrit un cercle autour de l’axe et pousse le bras via la normale à la coulisse.

Une première fausse piste

Après une première observation, nous trouvons contre-intuitif qu’allonger la pendulette la fasse avancer (période plus courte). Nous avons en tête le pendule simple, pour lequel augmenter la longueur ralentit toujours.
La clef oubliée : ici, il s’agit d’un pendule physique, dont la période dépend non seulement de la géométrie, mais surtout de la distance $d$ entre pivot et centre de masse (CM), et du moment d’inertie $I$ autour du pivot.

Quand le pivot O est proche du centre de masse G (petit $d$), la formule asymptotique montre que la période décroît quand $d$ augmente. Autrement dit, si nous descendons la masse de réglage $m_2$ (nous augmentons $l_2$, donc $d$), la pendulette accélère. Nous pouvons tenter d’expliquer l’effet par un "tirage de phase" de l’échappement : ce n’est pas pertinent. Le phénomène s’explique d’abord par la mécanique du pendule physique.

Mesurer $I$ et $d$ expérimentalement

Nous partons d’une mesure de période $T$ (petit angle, ou corrigée de l’amplitude), puis nous ajoutons une petite masse d’essai $m_a$ à une distance connue $x$ du pivot et nous remesurons la période $T_1$.
Ces deux mesures suffisent pour identifier :

$d$ : distance pivot-CM
$I$ : moment d’inertie autour du pivot, et donc $I_{cm}$ via l’axe parallèle

C’est une méthode robuste : deux expériences, deux inconnues. [1]

Un modèle simplifié mais utile

Pour comprendre l’effet du réglage, nous pouvons "éteindre" l’échappement : couple nul et frottements négligeables. Nous modélisons alors la variation observée comme une translation du pivot par rapport au CM : nous supposons $I_{cm}$ constant et longueur $I$ constante, et nous ne faisons varier que $d$. Dans ce cadre, la période s’écrit comme une fonction très simple de $d$ [2]. C’est exactement ce qu’il faut pour raisonner vite sur le réglage "avance-retard" [3].

Deux modèles comparés [4]

Nous comparons un CM fixe à un CM déplacé par la masse de réglage. Dans la pendulette réelle, nous agissons sur une masse au bout de la tige : nous modifions principalement $l_2$, donc $d$, et un peu l’inertie $I$ (puisque la masse se déplace). Pour éclairer ce point, nous mettons en vis-à-vis :

Modèle A (CM "fixe") : on varie $d$ en "translatant" le pivot (fiction utile) ; $I_{cm}$ et la longueur restent constants.
Modèle B (type "haltère") : deux masses $m_1, m_2$ sur une tige ; nous allongeons $l_2$ pour obtenir la même variation de $d$ que dans A. Ici, $I$ et la longueur effective changent avec $l_2$.

Résultat : autour du point de fonctionnement (valeurs typiques : $m=0.125$ kg, $d\simeq 2.6$ mm, $I_{\text{pivot}}=4.65\times 10^{-4}$ kg*m$^{2}$), les deux modèles donnent des périodes quasi identiques pour une même variation de $d$. La différence n’apparaît que pour des réglages amples, car le modèle B fait varier $I$ en plus de $d$.
En pratique, pour de petits réglages (fraction de tour en vissant ou dévissant la masse $m_2$), le modèle A suffit pour estimer l’effet sur $T$. Si l’oscillation n’est pas infinitésimale, nous multiplions la période "petit angle" par $1+\theta_0^2/16$. Cette correction s’applique de la même façon aux deux modèles.

L’échappement Frainier : trois niveaux de représentation

1) Période cible avec couple moyenné.
Nous remplaçons l’action crénelée de l’échappement par un couple moyen constant sur une période. Nous dimensionnons ce couple pour atteindre une période cible.

2) Période cible, périodes mesurées.
Nous comparons la période imposée par le dimensionnement (cible) et la période observée au modèle (mesure), pour ajuster le couple moyen et/ou $d$.

3) Couple "fenêtré" (modèle impulsionnel) et blocage de phase.
Nous représentons l’échappement par deux fenêtres d’impulsion par période (durées relatives $D_1,D_2$, déphasages $\delta_1,\delta_2$, asymétrie $\mu$) et un niveau de couple $\tau_0$.
Deux stratégies :

"Libre" : impulsions placées en temps selon la période instantanée du pendule
"Phase-lock" : impulsions recalées sur les passages au centre (zéros de $\theta$), ce qui stabilise la phase et la période simulées [5]

Ce troisième niveau permet d’expliquer l’asymétrie d’impulsion vue en vidéo, de distinguer les rôles de $D_1,D_2,\mu,\delta_1,\delta_2$ et d’évaluer l’influence d’un réglage sur l’avance-retard.

Vers un moment d’inertie "théorique"

Nous pouvons tenter de recalculer $I$ à partir d’une décomposition de masses (tige, lentille, boîtier), de mesures géométriques (photo calibrée, CAO légère) et du théorème des axes parallèles.
C’est instructif, mais en pratique :

les incertitudes sur les répartitions de masse dominent vite
la méthode expérimentale (section 2) reste le référentiel pour $I$ et $d$, quitte à s’en servir pour calibrer les hypothèses du modèle théorique

Ce qu’on retient

Quand le pivot est près du CM, augmenter $d$ (descendre la masse de réglage) raccourcit la période : la pendulette avance.
Pour de petits réglages, on peut modéliser l’effet via $d$ seul avec $I_{cm}$ constant : c’est simple et quantitativement juste.
Le modèle "haltère" affine l’histoire quand on déplace réellement une masse : pour une même variation de $d$, il prédit des périodes très proches du modèle simple.
Le modèle impulsionnel de l’échappement (fenêtres d’impulsion) explique les détails dynamiques (asymétries, synchronisation).

Pour aller plus loin (idées de TP)

Refaire l’identification $(I,d)$ avec deux petites masses $m_a$ et deux positions $x$ différentes (sur-détermination).
Évaluer l’erreur commise quand on fige $I_{cm}$ alors qu’on déplace réellement la masse : comparer modèles A et B pour $\Delta d = \pm 0.5$ mm, $\pm 1$ mm.
Implémenter le blocage de phase (mise à jour de la demi-période aux zéros de $\theta$) et comparer la dispersion de période avec le mode libre.

Notes

[1] Identification expérimentale de $I$ et $d$ Période petit angle :

$T_0 = 2\pi \sqrt{\dfrac{I}{m g d}}$

Après ajout d’une petite masse $m_a$ à distance $x$ du pivot :

$I_1 = I + m_a x^2$ $d_1 = \dfrac{m d + m_a x}{m + m_a}$ $T_{1,0} = 2\pi \sqrt{\dfrac{I_1}{(m+m_a)\, g\, d_1}}$

Les deux équations $T_0$ et $T_{1,0}$ permettent de résoudre explicitement $I$ et $d$.

[2] Période d’un pendule physique et correction d’amplitude.

En écrivant $I = I_{cm} + m d^2$ :

$T_0(d) = 2\pi \sqrt{\dfrac{I_{cm}+m d^2}{m g d}} =2\pi \sqrt{\dfrac{d + k^2/d}{g}}, \quad k^2 = \dfrac{I_{cm}}{m}$

Pour une amplitude initiale modérée $\theta_0$ :

$T(\theta_0) \simeq T_0 \left(1 + \dfrac{\theta_0^2}{16}\right)$

[3] Un modèle simplifié mais utile. Pour utiliser le modèle et bénéficier d’une excellente interactivité, il faut le télécharger et installer Wolfram Player sur votre poste (sauf si vous disposez de Mathematica). Le modèle peut aussi être consulté sur WolframCloud sans installation, mais l’interactivité est moins bonne.

[4] Comparaison des modèles : pendulette et haltère

Objectif de la comparaison

On veut comparer les périodes propres des deux systèmes :
– la pendulette (corps rigide, pivot déplaçable),
– et l’haltère (deux masses ponctuelles, pivot fixe mais bras variable b),
en maintenant la même distance d entre pivot et centre de masse après chaque réglage.

Données communes
$m=0.125$ kg, $g=9.81$ m s$^{-2}$, $d_{\rm ref}=$ 2.6 mm, Amplitude $\theta_0=0.3$ rad (environ 17 degrés).

Formule générale pour les petits angles :

$T_0(d)=2\pi\sqrt{\dfrac{I}{m g d}}=2\pi\sqrt{\dfrac{d+k^2/d}{g}}$

Correction d’amplitude :

$T(\theta_0)\approx T_0\left(1+\dfrac{\theta_0^2}{16}\right)$

Modèle pendulette (corps rigide)
– Moment d’inertie autour du pivot :

$I=I_{\rm cm}+m d^2$

– Constante du modèle :

$k_{\rm pend}^2=\dfrac{I_{\rm cm}}{m}=0.00371324\ \mathrm{m^2}$

Dans le modèle de la pendulette, la seule variable géométrique pertinente est la distance d entre le pivot et le centre de masse.
– Référence expérimentale :
$I_{\rm ref}=4.65\times10^{-4}$ kg·m$^2$, $d_{\rm ref}=2.6$ mm, donc $I_{\rm cm}=4.64155\times10^{-4}$ kg·m$^2$.

Modèle haltère (masses ponctuelles)

Pivot fixe, bras a supportant $m_1$ fixe, bras b supportant $m_2$ variable, $L=a+b$ (longueur totale variable).
– Inertie autour du pivot : $I=m_1 a^2+m_2 b^2$
– Distance pivot-centre de masse :

$d(b)=\dfrac{m_2 b - m_1 a}{m}$

– Inertie autour du centre de masse :

$I_{\rm cm}=\dfrac{m_1 m_2}{m}(a+b)^2$

– Rayon d’inertie effectif :

$k_{\rm halt}^2(b)=\dfrac{I_{\rm cm}}{m}=\dfrac{m_1 m_2}{m^2}(a+b)^2$

– Variation de $d$ avec $b$ :

$\Delta d=\dfrac{m_2}{m}\,\Delta b\approx 8.72\times10^{-5}$ m par millimètre

Dans le modèle de l’haltère, la longueur $L=a+b$ varie dès qu’on déplace la masse mobile. Elle intervient directement dans :

$I_{\rm cm}=\dfrac{m_1 m_2}{m}\,L^2$

et modifie donc la période.
– Références expérimentales :
On choisit les paramètres de l’haltère de manière à reproduire les conditions de la pendulette de référence : masse $m_1 = 0.11410$ kg supportée par a, masse $m_2 = 0.01090$ kg supportée par b, distance du pivot à $m_1$ : $a = 0.0162$ m, distance du pivot à $m_2$ : $b = 0.1998$ m. Ces valeurs garantissent le même moment inertie I et le même rayon d’inertie effectif k que pour la pendulette. Elles satisfont :

$m_1 a^2 + m_2 b^2 = 4.65\times10^{-4}$ kg·m$^2$

$d = \dfrac{m_2 b - m_1 a}{m} = 2.6\times10^{-3}$ m.

Impact des réglages
Pour obtenir la même variation de la distance centre de masse–pivot (d) :
– côté haltère, on déplace la masse $m_2$ d’une quantité $\Delta b$
– côté pendulette, il suffit de déplacer le pivot d’une quantité $\Delta p$ telle que

$\Delta p=(m_2/m)\,\Delta b$

Numériquement, avec $m_2=0.01090$ kg et $m=0.125$ kg, $m_2/m=0.01090/0.125=0.0872$. Donc, pour la même variation de $d$, le déplacement du pivot côté pendulette est environ 11.5 fois plus petit que le déplacement de $m_2$ côté haltère.

Remarques
– Dans le domaine $d<k$, la période diminue quand d augmente et elle augmente quand d diminue.
– Les deux modèles restent très proches ; l’écart vient du fait que, pour l’haltère, $k^2$ varie avec b alors que, pour la pendulette, il est constant.

Avantages du modèle pendulette

1. Simplicité mécanique : un seul paramètre géométrique (d) à ajuster, le reste constant.
Pas besoin de recalculer le barycentre à chaque réglage
2. Stabilité numérique : dans les simulations, $I(d)=I_{\rm cm}+m d^2$ garde la forme exacte sans dépendance de $L$. Pour l’haltère, $I(b)$ et $d(b)$ changent simultanément, créant un couplage géométrique.
3. Équivalence physique : le modèle pendulette reproduit fidèlement le comportement inertiel de l’haltère ($k^2$ quasi identique).

Conclusion

Avec les valeurs expérimentales choisies, les deux modèles prédisent pratiquement la même période : la différence relative est de l’ordre de $10^{-4}$ sur $k^2$ et de moins de 0.1 pour mille sur $T$.

Mais le modèle pendulette reste plus robuste, plus simple à ajuster et plus stable à simuler : il garde un $I$ constant et une loi directe $T_0^2(d)\propto d+k^2/d$, alors que l’haltère demande une correction géométrique à chaque changement de bras.

[5] Échappement Frainier "fenêtré" (idée).

Deux impulsions par période :

durées relatives : $D_1, D_2$
déphasages : $\delta_1, \delta_2$
asymétrie : $\mu \in [-1,1]$
niveau : $\tau_0$ (couple crête), moyenne proportionnelle à $(1+\mu)D_1 - (1-\mu)D_2$

Chaque impulsion est modélisée par une fenêtre lissée (type $\tanh$), synchronisée soit librement avec le temps, soit verrouillée en phase sur les passages $\theta=0$.

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