Pendulette magique - [Apprendre en ligne]

Horlogerie

Pendulette magique

Échappement Alfred Frainier

Le réglage d’une pendulette comportant un échappement de type « Frainier » est contre intuitif : lorsqu’elle retarde, il faut allonger la pendulette et lorsqu’elle avance il faut la raccourcir.

Article mis en ligne le 24 septembre 2025

dernière modification le 10 octobre 2025

par bernard.vuilleumier, ChatGPT

Cet article donne une explication du comportement d’un mouvement d’horlogerie muni d’un échappement de type « Frainier ». Il propose un modèle de pendule physique permettant de reproduire ce comportement.

Description

La pendulette Frainier « doigt-coulisse » (brevet 1908) comporte un doigt fixe sur un disque solidaire de l’axe moteur. Ce doigt coulisse librement dans une lumière verticale d’un bras oscillant solidaire de la pendulette. Dans ce montage, l’axe fait un tour complet par oscillation complète de la pendulette. Le doigt décrit un cercle de rayon autour de l’axe $r$ et pousse le bras via la normale à la coulisse.

Particularité
La « curiosité » du Frainier réside dans le couplage entre la pendulette et le bras oscillant : l’échappement applique des couples impulsifs - dépendants de l’occurrence des impulsions - qui transfèrent de l’énergie entre la pendulette et le bras oscillant.

Notations pour un Frainier "doigt-coulisse"

$T$ : période de la pendulette. [1] [2]
$m$ : masse de la pendulette.
$d$ : distance pivot - centre de masse de la pendulette.
$r$ : rayon du doigt (distance axe - doigt sur le disque).
$I$ : moment d’inertie de la pendulette autour du pivot. [3]
$c$ : frottements visqueux (pivots).
$c_\alpha$ : frottements quadratiques (air).
$D_i\in(0,1)$ : duty-cycle [4] de contact sur la demi-oscillation $i$.
$\tau_0$ : couple disponible à l’axe du disque.

Modèle

Équation du mouvement

On note $\theta(t)$ l’angle de la pendulette (zéro à la verticale), $\dot\theta$ sa vitesse angulaire.

$I\ddot\theta(t)+c\dot\theta(t)+c_\alpha|\dot\theta(t)|\dot\theta(t)+m g d \sin\theta(t)=\tau_{esc}(t)$

$\tau_{esc}(t)$ : couple d’échappement Frainier paramétré par $D_1,D_2,\mu,\delta_1,\delta_2$

Analyse d’une vidéo
L’analyse d’une vidéo de la pendulette fournit les paramètres $D_1,D_2,\mu,\delta_1,\delta_2$ suivants :

$D_1 \approx 0.286$
$D_2 \approx 0.167$
$\mu = (D_1 - D_2)/(D_1 + D_2) \approx 0.263$
$\delta_1 \approx +0.108$ s (centre impulsion - passage centre, de gauche à droite)
$\delta_2 \approx +0.093$ s (de droite à gauche)

Ce que règle chaque paramètre [5]

$D_1,D_2$ : durées d’impulsion relatives (sans unité)
$\mu$ : asymétrie d’amplitude (sans unité)
$\delta_1,\delta_2$ : avance/retard du centre temporel d’impulsion (s)
$\tau_0$ : amplitude de couple des impulsions (N m)

Chronométrie par demi-périodes et fenêtres d’impulsion
L’échappement ne pousse pas en continu : il donne une petite poussée pendant une courte fenêtre de temps à l’intérieur de chaque demi-période.

Période mesurée $T$, demi-période $h=T/2$.
Durées d’impulsion : $w_1=D_1 h$, $w_2=D_2 h$.
Centres temporel d’impulsion : $c_1=h/2+\delta_1$, $c_2=h/2+\delta_2$.
Nombre entier de demi-périodes : $n(t)=\big\lfloor t/h\big\rfloor$ (nombre entier)
Temps local dans la demi-période : $s(t)=t-\big\lfloor t/h\big\rfloor h$ (compris ente 0 et $h$)

Fenêtre à bords lissés :

$\mathrm{Rect}_\sigma(s(t), c, w)=\frac{1}{2}\left[\tanh\left(\frac{s(t)-(c-w/2)}{\sigma}\right)-\tanh\left(\frac{s(t)-(c+w/2)}{\sigma}\right)\right]$

Couple d’échappement avec asymétrie $\mu$

Niveau d’amplitude $\tau_{esc}$ (N m).

$\tau_{esc}(t)=\begin{cases} +\tau_0(1+\mu)\,\mathrm{Rect}_\sigma(s(t), c_1,w_1), & n(t)\ \text{pair},\\ -\tau_0(1-\mu)\,\mathrm{Rect}_\sigma(s(t), c_2,w_2), & n(t)\ \text{impair}. \end{cases}$

En pratique
Pour la simulation, le modèle comprend les paramètres :

($m, g, d, I, \tau_0, c, c_{\alpha}, \theta_0, \sigma, D_1, D_2, \delta_1, \delta_2, \mu$) [6]

Simulation
La simulation à l’aide du modèle fait apparaître l’effet des paramètres sur le comportement de la pendulette.

Notes

[1] Période dépendant de l’amplitude

$h = \dfrac{T}{2} = \pi \sqrt{\dfrac{I}{m g d}}\left(1+\dfrac{\theta_0^2}{16}\right)$

D’où vient cette formule
Elle résulte du développement en série de l’intégrale elliptique complète $K$ de première espèce :

$K(\sin^2(\tfrac{\theta_0}{2}))=\dfrac{\pi}{2}\left(1+\dfrac{\theta_0^2}{16}+\dfrac{11}{3072}\theta_0^4+\dfrac{173}{737280}\theta_0^6+\cdots\right)$

Voici le chemin standard pour passer de la période aux petits angles $T_0$ à la période à amplitude finie $T(\theta_0)$.

1) Équation d’énergie (pendule physique)

On note $I$ le moment d’inertie autour du pivot, $m$ la masse, $d$ la distance pivot–centre de masse. Énergie (zéro pris en bas) :

$E=\tfrac12 I \dot\theta^2 + m g d (1-\cos\theta)$

Au rebroussement ($\theta=\theta_0$, vitesse nulle) :

$E = m g d (1-\cos\theta_0)$

En éliminant $E$ :

$\dot\theta^2=\dfrac{2 m g d}{I}\big(\cos\theta-\cos\theta_0\big)$

2) Temps sous forme intégrale

En utilisant $1-\cos\theta=2\sin^2(\theta/2)$ :

$\dfrac{dt}{d\theta} =\sqrt{\dfrac{I}{2 m g d}}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{1}{\sqrt{\sin^2(\tfrac{\theta_0}{2})-\sin^2(\tfrac{\theta}{2})}} $

Le temps pour aller de 0 à $\theta_0$ correspond à un quart de période :

$\dfrac{T(\theta_0)}{4}=\sqrt{\dfrac{I}{2 m g d}}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\theta_0}\dfrac{d\theta}{\sqrt{\sin^2(\tfrac{\theta_0}{2})-\sin^2(\tfrac{\theta}{2})}}$

C’est une intégrale de la forme $\displaystyle\dfrac{d\theta}{\sqrt{a^2 - \sin^2(\theta/2)}}$ qui n’a pas de primitive « élémentaire ».

3) Substitution

Posons :

$k=\sin(\tfrac{\theta_0}{2})$

et définissons une nouvelle variable $\varphi$ par :

$\sin(\tfrac{\theta}{2})=k\sin\varphi$

Le dénominateur de l’intégrale peut s’écrire :

$ \sqrt{\sin^2(\tfrac{\theta_0}{2})-\sin^2(\tfrac{\theta}{2})} =\sqrt{k^2 - k^2\sin^2\varphi} =k\sqrt{1-\sin^2\varphi} =k\cos\varphi. $

Cette substitution fait passer de l’angle physique $\theta$ à un angle auxiliaire $\varphi$ plus commode pour l’intégrale elliptique.

4) Différentielle correspondante

On dérive les deux côtés :

$ \dfrac{1}{2}\cos(\tfrac{\theta}{2}) d\theta = k\cos\varphi d\varphi \quad\Longrightarrow\quad d\theta = \dfrac{2k\cos\varphi d\varphi}{\cos(\tfrac{\theta}{2})} $

On exprime $\cos(\tfrac{\theta}{2})$ en fonction de $\varphi$. On a $\sin(\tfrac{\theta}{2})=k\sin\varphi$, donc :

$ \cos^2(\tfrac{\theta}{2}) = 1 - \sin^2(\tfrac{\theta}{2}) = 1 - k^2\sin^2\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cos(\tfrac{\theta}{2})=\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}. $

On a donc simultanément :

$d\theta = 2k\cos\varphi d\varphi / \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}$ pour le numérateur et $k\cos\varphi$ pour le dénominateur.

5) Remplacement des bornes

Quand $\theta=0$, $\sin(\tfrac{\theta}{2})=0\Rightarrow\varphi=0$.
Quand $\theta=\theta_0$, $\sin(\tfrac{\theta_0}{2})=k\sin\varphi=k\Rightarrow\varphi=\pi/2$.

Les bornes deviennent donc $\varphi\in[0,\pi/2]$.

6) Intégrale obtenue
En insérant dans l’intégrale, on obtient :

$ \dfrac{T(\theta_0)}{4} = \sqrt{\dfrac{I}{4 m g d}} \int_{0}^{\pi/2} \dfrac{2 d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}} = \sqrt{\dfrac{I}{m g d}} \int_{0}^{\pi/2} \dfrac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}} $

Par définition, l’intégrale elliptique complète de première espèce est :

$K(k)=\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}$

D’où directement :

$\dfrac{T(\theta_0)}{4}=\sqrt{\dfrac{I}{m g d}}\,K(k)$

et donc :

$T(\theta_0)=4\sqrt{\dfrac{I}{m g d}}\,K(k)$

Exemple numérique

Pour $\theta_0=0{,}3665\ \mathrm{rad}$ (environ 21 degrés), $\theta_0^2/16\approx0{,}0084$, ce qui correspond à un allongement d’environ 0,84 % de la période. Le terme suivant $\tfrac{11}{3072}\theta_0^4\approx6\times10^{-4}$ est négligeable.

Remarque

Cette correction décrit la période naturelle (sans échappement). Dans le modèle du pendule Frainier, elle sert à définir la demi-période théorique $h$. La période observée peut ensuite varier légèrement selon les paramètres d’échappement $(D_1,D_2,\delta_1,\delta_2,\mu)$.

[2] Comportement du pendule physique
Lorsqu’on augmente la distance $d$ entre le pivot et le centre de masse (par translation du pendule), le moment d’inertie autour du pivot augmente. Le théorème de transport permet d’écrire :

$I(d)=I_{cm}+m d^2$

où $I_{cm}$ est le moment d’inertie autour du centre de masse. En tenant compte de cela, la période (petits angles) devient :

$T(d)=2\pi\sqrt{(I_{cm}+m d^2)/(m g d)}=2\pi\sqrt{(d+I_{cm}/(m d))/g}$

La dérivée montre un minimum de période lorsque :

$d =k=\sqrt{I_{cm}/m}$

si $d < k$ la période décroît quand $d$ augmente.

si $d > k$ la période croît quand $d$ augmente.

[3] Détermination du moment d’inertie de la pendulette
Elle ne nécessite pas de connaître la distance pivot–centre de masse $d$. Pour un pendule physique :

$T=2\pi\sqrt{I/(m g d)},\quad \ell_0 \equiv g T^2/(4\pi^2),\quad I=m\,d\,\ell_0$

On ajoute une petite masse $m_a$ à distance $x$ du pivot. On exprime le nouveau moment d’inertie $I_1$, la nouvelle position $d_1$ du centre de masse, la longueur équivalente $l_1$ d’un pendule simple et finalement le moment d’inertie $I_1$ en fonction de $d_1$ $l_1$ :

$I_1=I+m_a x^2$
$d_1=(m d+m_a x)/(m+m_a)$
$l_1=g T_1^2/(4\pi^2)$
$I_1=(m+m_a)d_1 l_1$

En combinant ces relations et en éliminant $I_1$ et $d_1$, on obtient :

$d=\dfrac{m_a\,x\,(x-\ell_1)}{m\,(\ell_1-\ell_0)},\quad I=m\,d\,\ell_0$

Étapes algébriques en partant du système :

$I_1=I+m_a x^2$,
$d_1=(m d+m_a x)/(m+m_a)$ (position du centre de masse)
$\ell_1=g T_1^2/(4\pi^2)$,
$I_1=(m+m_a)\,d_1\,\ell_1$

1. Éliminer $d_1$ et $I_1$.
De $d_1=(m d+m_a x)/(m+m_a)$ et $I_1=(m+m_a)d_1\ell_1$ on obtient :

$I_1=(m d+m_a x)\ell_1$

En l’égalant à $I_1=I+m_a x^2$ :

$I=(m d+m_a x)\ell_1 - m_a x^2 = m\ell_1 d + m_a x(\ell_1-x)$

C’est une relation linéaire entre $l$ et $d$ déterminée par la mesure avec la masse ajoutée.

2. Utiliser la définition de la période
Pour identifier $l$ et $d$ séparément, il faut une deuxième information. Le plus simple est la période à vide $T$ (sans la masse $m_a$). Avec le pendule physique (petits angles) :

$T=2\pi\sqrt{I/(m g d)}$

On définit :

$\ell_0=g T^2/(4\pi^2)=I/(m d)$

Donc :

$I=m\ell_0 d$

3. Résoudre le système
En soustrayant les deux égalités $I=m\ell_0 d$ et $I=m\ell_1 d+m_a x(\ell_1-x)$ on obtient :

$m(\ell_0-\ell_1)d=m_a x(\ell_1-x)$ $d=(m_a x(\ell_1-x))/(m(\ell_0-\ell_1))$

Procédure

1. Mesurez soigneusement $m$ et $T$ (période libre, petite amplitude).
2. Fixez une petite masse $m_a$ à une distance connue $x$ du pivot.
3. Remesurez $T_1$.
4. Calculez $\ell_0=gT^2/(4\pi^2)$ et $\ell_1=gT_1^2/(4\pi^2)$.
5. Appliquez les formules ci-dessus pour $d$ puis $I$.

[4] Le duty-cycle (on dit aussi rapport cyclique) est la part du temps ou un phénomène est actif pendant un cycle. Dans la pendulette (échappement Frainier), on appelle $D$ la fraction du demi-cycle ou le doigt impulse le bras. On a deux valeurs :
– $D_1$ : sur le flanc aller,
– $D_2$ : sur le flanc retour.

En comparant les deux valeurs on obtient l’asymétrie de l’impulsion.

En résumé : le duty-cycle, c’est « le temps actif » par rapport au temps total, un nombre entre 0 % et 100 %.

[5] En bref : $D_i$ règle combien de temps on pousse, $\delta_i,$ quand on pousse dans la demi-période, $\mu$ combien plus fort d’un côté que de l’autre. Avec ces trois paramètres, on décrit finement la chronométrie de l’échappement dans un modèle simple mais fidèle.

[6] Quand la pendulette passe par la verticale, l’impulsion du doigt ne se déclenche pas forcément pile à ce moment. Si c’est le cas, $\delta_i=0$. Si la géométrie est un peu décalée, l’impulsion arrive un peu en avance ou en retard et $\delta_i\neq 0$.

Description

Modèle

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