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Résoudre un système d'équations différentielles - [Apprendre en ligne]
Équations différentielles
Résoudre un système d’équations différentielles
De l’accélération à la trajectoire

La relation fondamentale de la dynamique permet, lorsqu’on connaît les forces qui agissent sur une particule, de trouver son accélération, puis sa trajectoire.

Article mis en ligne le 20 janvier 2006
dernière modification le 7 août 2012

par bernard.vuilleumier

La relation fondamentale de la dynamique permet, lorsqu’on connaît les forces qui agissent sur une particule, de trouver son accélération. En exprimant l’accélération en composantes selon Ox, Oy et Oz, on obtient trois équations différentielles qui fournissent par intégration les composantes du vecteur position de la particule.

Lorsqu’une particule de masse m et de charge q animée d’une vitesse $\vec v$ est soumise à l’action d’un champ électrique $\vec E$ et d’un champ magnétique $\vec B$ tous deux constants (voir figure) ainsi qu’à une force de frottement proportionnelle à sa vitesse, la somme des forces qu’elle subit, qui est égale au produit de sa masse par son accélération, s’écrit :

$q(\vec E+\vec v \times \vec B)-k \vec v= m\vec a$

Champ électromagnétique
Région de l’espace où règnent un champ magnétique d’intensité B selon Ox et un champ électrique d’intensité E selon Oz.

En exprimant cette équation vectorielle en composantes, on obtient les trois équations différentielles suivantes :
$\ddot{x}=-\frac{k}{m}\dot{x}$
$\ddot{y}=\frac{q}{m}\dot{z}B_x-\frac{k}{m}\dot{y}$
$\ddot{z}=\frac{q}{m}(E_z-\dot{y}B_x)-\frac{k}{m}\dot{z}$

Activité

 Résolvez ce système d’équations différentielles avec Mathematica puis représentez en 3 dimensions la trajectoire décrite par la particule pour différentes vitesses initiales.


Voir (from Wolfram Demonstrations Project) EquationTrekker


Wolfram Demonstrations Project : mode d’emploi