Problème 1

a) Donnez la solution générale de l’équation :

$\frac{dy}{dx}=e^{-y} Cos^2(\pi x)$

Résolvons l’équation par rapport à $y(x)$ :

Examinons la solution pour $x=0$ :

b) Sachant qu’en $x=0$, $y=ln(e)$, dessinez la solution pour $ 0\le x \le\pi$.

Problème 2

a) Donnez la solution de l’équation :

$y’=2x^2-\frac{y}{x}$

satisfaisant la condition initiale $y(1)=3$.
b) Représentez graphiquement cette solution pour -4 $\le x \le$ 4.

Résolvons l’équation par rapport à $y(x)$ et représentons la :

Problème 3

a) Donnez la solution générale de l’équation :

$ \ddot x + x = 0$

Résolvons l’équation par rapport à $x(t)$

b) Déterminez la valeur des constantes d’intégration sachant qu’en $t=0$, $x=1$ et $\dot x =2$.

Examinons la solution pour$ t=0$ :

Nous en déduisons que $C[1]$ est égal à 1. Introduisons cette valeur dans la solution, dérivons la par rapport à $t$ et remplaçons $t$ par 0 :

Nous en déduisons que $C[2]$ est égal à 2.

c) Dessinez la solution satisfaisant ces conditions pour $t$ variant de 0 à 2$\pi$.

d) Dessinez, pour $t$ variant de 0 à 2$\pi$, la solution correspondant aux valeurs aux limites $x(0)=1$ et $x(\frac{\pi}{2})=0$.

Résolvons l’équation en fixant les conditions aux limites et dessinons la solution particulière qui leur correspond :

Problème 4

a) Établissez l’équation du mouvement sans frottement d’un pendule à partir d’un schéma sur lequel vous indiquerez toutes les forces qui agissent. Donnez les lois et relations utilisées. Expliquez votre démarche.
b) Lorsque le pendule est soumis à une force de frottement proportionnelle à sa vitesse angulaire $\frac{d\theta}{dt} = \dot \theta $, l’équation du mouvement est donnée par :

$\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{d\theta}{dt}+sin(\theta) = 0$

Résolvez numériquement cette équation sachant qu’en $t$=0, la vitesse angulaire $\dot\theta $ du pendule est nulle et qu’il forme un angle $\theta$ de $\frac{\pi}{4}$ avec la verticale.
c) Dessinez la solution $\theta(t)$ pour $t$ variant de 0 à 10.

Problème 5