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Rotation dans le plan - [Apprendre en ligne]
Géométrie
Rotation dans le plan
Changement de système de référence

Comment trouver les coordonnées d’un point exprimées dans Σ dans un référentiel Σ’ ayant subi une rotation d’angle θ

Article mis en ligne le 10 novembre 2006
dernière modification le 18 juin 2013

par bernard.vuilleumier

Les coordonnées d’un point dépendent du système de référence choisi pour les exprimer. La distance entre l’origine et le point en revanche est invariante : elle ne dépend pas du système de référence et conserve la même valeur dans tous les référentiels. Si le système de référence subit une rotation autour de l’origine, les coordonnées dans le système Σ’ peuvent s’exprimer facilement à partir du produit de la matrice de rotation par les coordonnées du point dans le système Σ.

Rotation dans le plan

La matrice décrivant la rotation du référentiel Σ autour de l’origine et permettant d’obtenir ses coordonnées (x’, y’) dans le système Σ’
est donnée par :

$\left( \begin{array}{cc} \cos (\theta ) & \sin (\theta ) \\ -\sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} x’ \\ y’ \end{array} \right)$

Remarque : faire tourner le système d’axes Σ d’un angle θ autour de l’origine est équivalent à faire tourner le point d’un angle -θ autour de l’origine. Lorsqu’on parle de rotation dans le plan, il faut bien préciser si on considère la rotation du système d’axes ou celle d’un point autour de l’origine.