Ce court travail explique et modélise un saut en parachute avec l’ouverture brusque de celui-ci. L’objectif est d’atteindre le temps de chute le plus court possible en retardant au maximum l’ouverture du parachute.

1. Introduction

Un objet qui chute est soumis à 2 forces.
La première est son propre poids : $ \vec P = m \vec g$
La deuxième est la force de frottement qui s’oppose au poids : $ F_{frott} = \frac{1}{2} \rho Cy S V^{2}$ où $\rho$ (rho) est la masse volumique de l’air, $Cy$ le coefficient de pénétration dans l’air de l’objet et $S$ la surface frontale exposée à la chute de l’objet (ou section apparente), que l’on va faire dépendre ici du rayon $r$ du parachute . Cette expression donne la grandeur de cette force qui est dirigée parallèlement à la vitesse, dans le sens opposé.

Grâce à la relation fondamentale de la physique $\Sigma \vec F = m \vec a$ et donc $\vec a = \frac {\Sigma \vec F}{m}$, l’accélération subie par l’objet qui chute peut s’écrire sous la force $\vec a = \frac {\vec F_{frott} - \vec P}{m}$ , la force de frottement s’opposant à la chute tandis que le poids y contribue.

2. Modélisation

Afin de représenter la chute d’un parachutiste, le modèle à obtenir sous Stella est le suivant :

Ce modèle permet d’obtenir la vitesse et la position (altitude) en intégrant l’accélération.
Les valeurs à entrer sont :

rho : $\rho = 1.293 kg/m^3$

$C_y = 1$

$S = \pi r^2$

$F_{y} = \frac {1}{2} \rho C_y S V^{2}$

$m = 80 kg$

$g = 9.81 m/s^{2}$

$p = mg$

$A_{y}= \frac {F_{frott} - P}{m}$

$V_{y} = 0$ (correspond à la vitesse initiale)

$Flux V_{y} = V_{y}$

$y = y_{0} = 1000 m$ (hauteur de la chute)

$r = 0.75 $+ SMTH3(STEP(1.25, t),3) Cette fonction STEP simule l’ouverture du parachute en augmentant brutalement le rayon apparent et où $t$ est le moment où elle se déclenche (la fonction SMTH3, smooth voulant dire lissage, permet de l’étaler sur un intervalle de 3 secondes [1]).
0.75 correspond au "rayon" du parachutiste seul. On fixe celui du parachute à 2 mètres, on doit donc ajouter 1.25 pour y arriver.

Méthode d’intégration : Runge-Kutta 4. Pas ($$$\Delta T$) 0.01 s.

3. Représentation et analyse

On fixe la vitesse limite d’atterrissage de notre parachutiste de 80 kilos à 10 m/s. Au delà, on considère qu’elle est trop importante pour atterrir sans dommage. Il se trouve que, par hasard, le choix d’un parachute de 2 mètres de rayon stabilise la vitesse de chute à ces 10 m/s.

Reste à créer un graphique et de choisir de représenter l’altitude ($y$) et la vitesse ($V_y$) afin de trouver le temps $t$ d’ouverture :

Après de multiples tests (et quelques pertes chez nos parachutistes), le temps limite d’ouverture pour ne pas s’écraser se trouve à 35.5 secondes. Ce temps peut toutefois varier légèrement selon la précision choisie sur le graphique, mais déclencher l’ouverture à 36 secondes fait passer la vitesse d’impact à plus de 10 m/s.

Attention, ce temps n’est valable qu’avec les données choisies (masse, rayon du parachute et position initiale). Tout changement dans ces variables induit une modification des forces en présence et donc de l’accélération qui influence à son tour la vitesse de chute.

On voit ainsi qu’un modèle simple sous Stella permet de simuler un problème de chute avec changement brusque d’une variable et de trouver le temps optimal après quelques tâtonnements.