Comme l’écrivain qui utilise des mots pour écrire un roman ou un poème, le mathématicien compose des transformations affines pour reproduire les formes de la nature.

Systèmes de fonctions itérées

Les systèmes de fonctions itérées (Iterated Functions Systems, IFS) permettent d’obtenir des images d’une étonnante complexité et d’une rare beauté. Ils mettent en oeuvre la composition de simples transformations affines et débouchent sur la géométrie fractale. Cette géométrie peut être considérée comme un nouveau langage des mathématiques autorisant l’expression de formes naturelles.

Michael Barnsley, Fractals Everywhere. Academic Press, Inc. 1988. L’image de la couverture du livre a été obtenue avec un système de fonctions itérées.

Activités
– téléchargez le module « IteratedMappings »
– définissez les transformations affines données par :

1. m1=((0.387, 0.43), (0.43, -0.387)) ; q1=(0.256, 0.522) ;
2. m2=((0.441, -0.091), (-0.009, -0.322)) ; q2=(0.4219, 0.5059) ;
3. m3=((-0.468, 0.02), (-0.113, 0.015)) ; q3=(0.4, 0.4) ;

– réitérez l’application de ces transformations à une figure initiale
– comment le nombre de points augmente-t-il avec les itérations ?