Bonne chance à tous pour vos examens !

Contenu ©® ZWAHLEN Thierry 2006-2008

Plan

1. Théorèmes de 3ème
   • Définition et interprétation graphique de la dérivée
   • Dérivée des fonctions Sinus et Cosinus
   • Dérivée de la fonction xⁿ
   • Dérivée des fonctions Arcsin et Arccos
   • Théorème des accroissements finis
   • Corollaire 1 : " f’ = 0
   • Corollaire 2 : " f’ = 0
2. Théorèmes de 4ème
   • Énoncé avec F₁ et F₂
   • Présentation de l’intégrale de Riemann
   • Théorème de la moyenne
   • Théorème fondamental
   • Formule du volume de révolution
   • Intégration par parties
   • Définition et propriétés de la fonction logarithme naturel
   • Définition et propriétés de la fonction exponentielle

I. Théorèmes de 3ème

• Définition et interprétation graphique de la dérivée

Le chapitre du calcul différentiel permet de développer des méthodes permettant de dégager les principales propriétés graphiques des fonctions réelles (comment passer d’une fonction à un graphique). La notion de dérivée fait partie intégrante de ce chapitre.

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Définition

La dérivée de $f$ au point $a$, notée ${f}’(a)$, est, pour autant qu’elle existe, la limite suivante :

${f}’(a)=\lim_{x\to{a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Interprétation graphique

Regardons dans un premier temps la signification graphique de la fraction $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ :

La fraction est la pente de la droite passant par le point $a$ et le point $x$. À la limite, quand $x$ tend vers $a$, la droite devient tangente au point $a$.

Nous savons donc que $f’(a)$ correspond graphiquement à la pente de la droite tangente à $f$ au point $( a ; f(a) )$.

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• Dérivée des fonctions Sinus et Cosinus

Nous allons démonter les égalités suivantes (présentes dans le formulaire CRM) :

$\begin{eqnarray*} \sin’(x)=&\cos(x)\\ \cos’(x)=&-\sin(x) \end{eqnarray*}$

Pour démontrer ces deux égalités, rappelons quelques propriétés des fonctions trigonométriques :

1. $\sin(\alpha) - \sin(\beta) = 2 \cdot cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) \cdot \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})$
2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$
3. $\cos^2(x) + sin^2(x) = 1$

Dérivée du Sinus

Démontrons maintenant la dérivée de la fonction Sinus

$\begin{eqnarray*} \sin’(x) & = & \lim_{x \to a} \frac{\sin(x) - \sin(a)}{x - a} \\ & = & \lim_{x \to a} \frac{2 \cos(\frac{x + a}{2}) \sin(\frac{x - a}{2})}{x -a} \\ & = & \lim_{x \to a} \left(2\cos\left(\frac{x+a}{2}\right)\frac{sin(\frac{x-a}{2})}{\frac{x-a}{2}}\frac{1}{2}\right) \\ & = & \lim_{x \to a} \left(2\frac{1}{2} \cos\left(\frac{x+a}{2}\right)\right) \cdot \lim_{x \to a} \frac{\sin(\frac{x-a}{2})}{\frac{x-a}{2}} \\ & = & \cos\left(\frac{2a}{2}\right) \cdot \lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y} \\ & = & \cos(a) \cdot 1 \end{eqnarray*}$

Finalement, $\sin’(x) = \cos(x) ~;~;~; \forall ~; x \in \R$

Dérivée du Cosinus

Pour démontrer cette égalité, nous allons dériver la fonction $\cos^2(x) + \sin^2(x)$ qui est constante.

$\begin{eqnarray*} \left(\cos^2(x) + \sin^2(x)\right)’ & = & (1)’ \\ \left(\cos^2(x)\right)’ + \left(\sin^2(x)\right)’ & = & 0 \\ \left(\cos^2(x)\right)’ & = & - \left(\sin^2(x)\right)’ \\ \cos’(x) & = & \frac{-2\sin(x)\cos(x)}{2\cos(x)} \\ & = & -\sin(x) \end{eqnarray*}$

Finalement, $\cos’(x) = - \sin’(x) ~;~;~; \forall ~; x \in \R$

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• Dérivée de la fonction xⁿ

Nous allons démontrer que la dérivée de la fonction $f(x) = x^n$ équivaut à $f’(x) = n \cdot x^{n-1}$ en 3 temps :

1. Lorsque $n$ est un entier positif ($n \in \N$)
2. Lorsque $n$ est un entier négatif ($n \in \Z_-^*$)
3. Lorsque $n$ est un rationnel ($n \in \Q$)

Il est également possible de démontrer que cette formule reste vraie lorsque l’exposant est un réel irrationnel, mais la démonstration est de niveau universitaire.

Énoncé 1

Si $f(x) = x^n$ alors $f’(x) = n \cdot x^{n-1} ~;~;~; \forall ~; x \in \R$ et $\forall ~; n \in \N$

-

Il s’agit de prouver par récurrence que :

1. la formule est vraie pour $n = 0$
2. si la formule est vraie pour $n$, alors elle l’est aussi pour $n + 1$

Supposons donc la formule vraie pour $n$.

Pour $n = 0$ :

$\begin{eqnarray*} \left(x^0\right)’ & = & \lim_{x\,\to\,a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \\ & = & \lim_{x\,\to\,a} \frac{x^0 - a^0}{x - a} \\ & = & \lim_{x\,\to\,a} \frac{1 - 1}{x - a} \\ & = & 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(x^n\right)’ & = & n \cdot x^{n-1} \\ \left(x^0\right)’ & = & 0 \cdot x^{0-1} \\ 0 & = & 0 \\ \end{eqnarray*}$

La formule est vraie pour $n = 0$.

Pour $n + 1$

$\begin{eqnarray*} \left(x^{n+1}\right)’ & = & \left(x \cdot x^n\right)’ \\ & = & x’ \cdot x^n + x \cdot (x^n)’ \\ & = & x^n + x \cdot nx^{n-1} \\ & = & x^n + nx^n \\ & = & x^n\left(1 + n\right) \\ & = & (n + 1)x^n \end{eqnarray*}$

La formule est vraie pour $n + 1$ donc pour tout entier positif.

Finalement, $(x^n)’ = nx^{n - 1} ~;~;~; \forall ~; n \in \N$

Énoncé 2

Si $f(x) = x^n$ alors $f’(x) = n \cdot x^{n-1} ~;~;~; \forall ~; x \in \R^*$ et $\forall ~; n \in \Z^*_-$

-

L’exposant est un entier négatif, donc le domaine de $f$ est $\R^*$ ($x^{-3} = \frac{1}{x^3})$
La démonstration se fera en utilisant la dérivée de l’inverse et la formule pour $n \in \N$.

Ne pas oublier que $n$ est un entier strictement négatif et que $-n$ est positif.

$\begin{eqnarray*} \left(x^n\right)’ & = & \left(\frac{1}{x^{-n}}\right)’ \\ & = & \frac{-\left(x^{-n}\right)’}{(x^{-n})^2} \\ & = & \frac{ -\left(-nx^{ -n-1 }\right)}{x^{-2n}} \\ & = & nx^{-n-1} \cdot x^{2n} \\ & = & nx^{-n-1+2n} \\ & = & nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

Finalement, $\left(x^n\right)’ = nx^{n-1} ~;~;~; \forall ~; n \in \Z^*_-$

Énoncé 3

Si $f(x) = x^n$ alors $f’(x) = n \cdot x^{n-1} ~;~;~; \forall ~; x \in \R^*_+$ et $\forall ~; n \in \Q$

Remarques :

– Lorsque l’exposant est rationnel, le domaine de f est $\R^*_+$ (par exemple : $x^{-1/2} = - \frac{1}{\sqrt{x}}$
– La démonstration se fera en utilisant la dérivée de la composée et la formule pour n $\in \Z$

Démonstration :

Si n est un nombre rationnel, il peut s’écrire sous forme d’une fraction. Posons $n=\frac{p}{q}$. Pour démontrer que $(x^{\frac{p}{q}})’ = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q}-1}$, nous allons dériver la fonction $(x^{\frac{p}{q}})^q$ de deux façons :

$((x^{\frac{p}{q}})^{q})’ = q(x^{\frac{p}{q}})^{q-1} (x^{\frac{p}{q}})’ $

$((x^{\frac{p}{q}})^{q})’ = (x^p)’ = px^{p-1}$

Comme ces deux résultats sont équivalents on peut poser :

$q(x^{\frac{p}{q}})^{q-1} (x^{\frac{p}{q}})’ = px^{p-1}$

Il s’agit maintenant d’isoler $(x^{\frac{p}{q}})’$ soit :

$ (x^{\frac{p}{q}})’ = \frac{px^{p-1}}{q(x^{\frac{p}{q}})^{q-1}}$

$(x^{\frac{p}{q}})’ = \frac{p}{q} x^{p-1} (x^{\frac{p}{q}})^{-q+1}$

$(x^{\frac{p}{q}})’ = \frac{p}{q} x^{p-1} x^{\frac{p(1-q)}{q}} = \frac{p}{q} x^{p-1+\frac{p}{q}-p} = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q}-1}$
(ouf !)

À noter que la formule reste vraie lorsque l’exposant est irrationnel.

Par exemple : $(x^{\pi})’ = \pi x^{\pi -1}$

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• Dérivée des fonctions Arcsin et Arccos

Nous allons démontrer les égalités suivantes (présentes dans le formulaire CRM) :

$\begin{eqnarray*} Arcsin’(x) & = & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ Arccos’(x) & = & \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$

Dérivée de la fonction Arcsin

La fonction sinus est bijective de $\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ vers $[-1 ; 1]$. (c.f. graphique ci-dessous)

Elle admet donc une réciproque :

$\begin{eqnarray*} Arcsin : [-1 ; 1] & \rightarrow & \left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right] \\ x & \mapsto & Arcsin(x) \end{eqnarray*}$

Pour calculer la dérivée de la fonction Arcsinus, nous allons dériver la composée $\sin(Arcsin(x)) = x$

$\begin{eqnarray*} \left[\,\sin\left(Arcsin\left(x\right)\right)\right]’ & = & x’ ~;~;~;~;~;~; \forall ~; x \in ~; ]-1 ;1[ \\ cos\left(Arcsin\left(x\right)\right) \cdot Arcsin’\left(x\right) & = & 1 \\ Arcsin’\left(x\right) & = & \frac{1}{cos\left(Arcsin\left(x\right)\right)} \end{eqnarray*}$

À partir de ce point, on va utiliser une égalité à partir des propriétés trigonométriques (voir plus haut, dérivées de la fonction Sinus et Cosinus), qui est la suivante :

$\begin{eqnarray*} \cos^2\left(x\right) + \sin^2\left(x\right) & = & 1 \\ \cos\left(x\right) & = & \pm \sqrt{1 - \sin^2\left(x\right)} \end{eqnarray*}$

Le signe "-" est à exclure, car $\cos\left(x\right) > 0$ lorsque $x \, \in \left[\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$
Substituons-le maintenant dans notre ancienne équation :

$\begin{eqnarray*} Arcsin’\left(x\right) & = & \frac{1}{\pm \sqrt{1 - \sin^2\left(Arcsin\left(x\right)\right)}} \\ & = & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$

Finalement, $Arcsin’\left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ~;~;~; \forall ~; x \in \left[\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$

Dérivée de la fonction Arccosinus

La fonction cosinus est bijective de $\left[\,0 ; \pi\right]$ vers $[-1 ; 1]$.

Elle admet donc une réciproque :

$\begin{eqnarray*} Arccos : [-1 ; 1] & \rightarrow & \left[\,0 ; \pi \right] \\ x & \mapsto & Arccos(x) \end{eqnarray*}$

Nous allons suivre la même méthode que pour la dérivée de la fonction Arcsinus :

$\begin{eqnarray*} \left[\,\cos\left(Arccos\left(x\right)\right)\right]’ & = & x’ ~;~;~;~;~;~; \forall ~; x \in ~; ]-1 ;1[ \\ -sin\left(Arccos\left(x\right)\right) \cdot Arccos’\left(x\right) & = & 1 \\ Arccos’\left(x\right) & = & \frac{-1}{sin\left(Arccos\left(x\right)\right)} \end{eqnarray*}$

Reprenons l’égalité d’avant :

$\begin{eqnarray*} \cos^2\left(x\right) + \sin^2\left(x\right) & = & 1 \\ \sin\left(x\right) & = & \pm \sqrt{1 - \cos^2\left(x\right)} \end{eqnarray*}$

Le signe "-" est à exclure, car $\sin\left(x\right) > 0$ lorsque $x \, \in \left[\,0 ; \pi\right]$
Substituons-le maintenant dans notre ancienne équation :

$\begin{eqnarray*} Arcsin’\left(x\right) & = & \frac{-1}{\pm \sqrt{1 - \cos^2\left(Arccos\left(x\right)\right)}} \\ & = & \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$

Finalement, $Arccos’\left(x\right) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} ~;~;~; \forall ~; x \in \left[\,0 ; \pi\right]$

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• Théorème des accroissements finis

Ce théorème découle directement du théorème de Rolle. Il a été démontré en 1700 environ.

Énoncé

Si $f$ est continue sur $[a ;b]$ et dérivable sur $]a ;b[$,
alors $\exists ~; c \in ~; ]a ;b[$ tel que $f’(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

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Illustration

La droite $d$ sur le graphique, est, par définition, la droite passant par les points $(a ;f(a))$ et $(b ;f(b))$.

La fraction $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ représente la pente de cette droite.

Le théorème affirme l’existence d’au moins un point $c$ en lequel la tangente à $f$ est parallèle à la droite $d$ (il y a deux points $c$ sur l’illustration ci-dessus).

Démonstration

Rappelons le théorème de Rolle :

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Si $f$ est continue sur un intervalle $[a ;b]$, et dérivable sur $]a ;b[$
et si $f(a) = f(b)$

alors $\exists ~; c \in ~; ]a ;b[$ tel que $f’(c) = 0$.

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Il faut appliquer ce théorème à la fonction $f - d$ sur l’intervalle $[a ;b]$.

Cela est possible pour les raisons suivantes :

• Comme la fonction $d$ est un polynôme, elle est continue et dérivable sur $\R$ donc sur $[a ;b]$.
  
• La fonction $f-d$ (écart entre $f$ et $d$) est donc continue sur $[a ;b]$ (propriétés des fonctions continues) et dérivable sur $]a ;b[$ (dérivée de la somme).
• Comme $f(a) = d(a)$ et $f(b) = d(b)$, alors $(f-d)(a) = (f-d)(b) = 0$, ce qui nous ramène à la dernière condition "$f(a) = f(b)$".

La fonction $f-d$ vérifie donc toutes les hypothèses du théorème de Rolle.

Ce théorème nous assure l’existence d’un point $c \in ~; ]a ;b[$ tel que $(f-d)’(c) = 0$.

$\begin{eqnarray*} f’(c) - d’(c) & = & 0 \\ f’(c) & = & d’(c) \\ & & \\ & & \\ d’(x) & = & \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\ & & \\ & & \\ f’(c) & = & \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$

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• Corollaire 1 : " f’ = 0 -> f = c^te "

Si $f$ est continue sur $[a ;b]$, et dérivable sur $]a ;b[$
et si $f’(x)=0~;~;~;\forall~;x\in~;]a ;b[$,

alors $f(x)=f(a)~;~;~;\forall~;x\in~;]a ;b[$. (Cela signifie que $f$ est constante sur $[a ;b]$.)

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Nous allons appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction $f$ sur l’intervalle $[a ;x]$.

Considérons un nombre $x$ de l’intervalle $]a ;b]$.

Par hypothèse du corollaire, la fonction $f$ vérifie les hypothèses du théorème des accroissements finis sur l’intervalle $[a ;x]$.

Nous savons donc que : $\exists ~; c \in ~; ]a ;x[ ~;~; | ~;~; f’(c) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Comme $f’(c) = 0$ (hypothèse du corollaire) $f(x) - f(a)$ est aussi forcément égal à 0.

$f(x) - f(a) = 0 \Longrightarrow f(x) = f(a)$.

Ce raisonnement étant valable pour tout $x$ de l’intervalle $]a ;b]$, nous en déduisons que $f(x) = f(a) ~;~;~; \forall ~; x \in ~; ]a ;b]$ et donc que $f(x) = f(a) ~;~;~; \forall ~; x \in \, [a ;b]$ (car $f(a) = f(a)$...)

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• Corollaire 2 : " f’ > 0 -> f croissante "

Si $f$ est continue sur $[a ;b]$, et dérivable sur $]a ;b[$
et si $f’(x) \geq 0 ~;~;~; \forall ~; x \in ~; ]a ;b[$,

alors $f$ est croissante sur $[a ;b]$.

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Il s’agit de prouver que :

$x_1 < x_2 \Longrightarrow f(x_1) \leq f(x_2) ~;~;~; \forall ~; x_1 ; x_2 \in \, [a ;b]$
(définition de la croissance)

Considérons donc deux nombres $x_1$ et $x_2$ tels que $a \leq x_1 < x_2 \leq b$.

Nous allons appliquer le théorème des accroissements finis à $f$ sur l’intervalle $[x_1 ;x_2]$. (Cela est possible car $f$ vérifie forcément les hypothèses de ce théorème sur cet intervalle.)

Nous savons donc que $\exists ~; c \in ~; ]x_1 ;x_2[ ~;~; | ~;~; f’(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$.

Comme $f’(c) \geq 0$ (et $x_2-x_1 > 0$) nous pouvons déduire que $f(x_1) - f(x_2) \geq 0$.

Finalement, si $x_1 < x_2$, alors $f(x_1) \leq f(x_2)$. $f$ est donc croissante sur $[a ;b]$.

Remarque

1. La réciproque de ce théorème est vraie.
2. Il est possible de démontrer le théorème "$f’ \leq 0 \Longrightarrow f \searrow$" en procédant de la même manière.

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II. Théorèmes de 4ème

• Énoncé avec F₁ et F₂

Si F₁ et F₂ sont deux primitives de f sur I, alors F₁ - F₂ est une fonction constante.
Énoncer et démontrer que "f ’ = 0 > f = c^te"

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Il faut rappeler le corollaire 1 des accroissements finis :

Le théorème des accroissements finis nous dit que pour toute fonction continue sur l’intervalle [a ;b] et dérivable sur ]a ;b[, il existe un point $c$ tel que

$f’(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Le premier corollaire prend comme hypothèse supplémentaire que la dérivée est nulle.
Si l’on considère l’intervalle ]a ;x] où $x\,\in\, [a ;b]$ on a

$f’(c) = 0 = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Et donc $f(x) = f(a) ~;~;~; \forall~;x\,\in\,[a ;b]$, la fonction est donc constante sur cette intervalle (succinctement c’est ça quoi...).

Selon ce corollaire, comme la dérivée de F₁ - F₂ est la fonction nulle, F₁ - F₂ est obligatoirement une fonction constante.

$(F_1 - F_2)’(x) = F_1’(x) - F_2’(x) = f(x) - f(x) = 0 ~;~;~; \forall ~; x \in \, I$

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• Présentation de l’intégrale de Riemann

Rappelons, pour notre culture générale, que Riemann était un mathématicien allemand qui n’a vécu que 40 ans, entre 1826 et 1866.

Les sommes de Riemann ont pour but d’obtenir une approximation de l’aire sous la courbe d’une fonction f. Voici la procédure :

• Pour ceci, prenons une fonction f continue dans un intervalle fermé [a ;b], et représentons-la.
• Partageons ensuite cet intervalles par des sous-intervalles, pas forcément tous de la même longueur, selon n points, en partant de x₀ = a, x₁ = ... x_n = b.
• À l’intérieur de chaque sous-intervalle, choisissons arbitrairement un nombre ?_k qui appartient à l’intervalle [x_k-1 ;x_k], et qui délimitera la hauteur du k^ième rectangle.
  $\xi_1 ~; \in ~; [x_0 ;x_1] ~;~;~; \xi_2 ~; \in ~; [x_1 ;x_2] ~; ... ~;~;~; \xi_n ~; \in ~; [x_{n-1} ;x_n]$
• Ainsi nous obtenons des rectangles formés par la base [x_k-1 ;x_k] et par la hauteur f(?_k). L’aire d’un rectangle et donc l’aire de ces rectangles sont obtenues par les formules suivantes :

$\begin{eqnarray*} Aire & = & hauteur \times base \\ & = & f(\xi_k) \cdot (x_k - x_{k-1}) \end{eqnarray*}$

La somme de Riemann, c’est la somme de tous les rectangles.

$f(\xi_1) (x_1 - x_0) + f(\xi_2) (x_2 - x_1) + ... + f(\xi_n) (x_n - x_{n-1})$

Elle se note :

$\sum_{k=1}^n ~; f(\xi_k) (x_k - x_{k-1})$

et se lit :
"somme pour k allant de 1 à n de f($\xi_k$)(x_k-1 ;x_k)".

Pour améliorer l’approximation calculée avec une somme de Riemann, il semble intuitif d’augmenter le nombre n de rectangles.
Dans le but de calculer la valeur exacte de l’aire en question, il faut faire tendre n vers +$\infty$.

Il faut d’autre part que la base de chaque rectangle diminue.
En effet, il ne suffit pas de subdiviser à l’infini un seul des rectangles choisis au départ.
Notons L_n la longueur de la plus grande base des n rectangles.
Il faut tendre L_n vers 0.

La limite à calculer peut donc s’écrire :

l$\lim\imits_{ \begin{array}{l} x \to \infty\\ L_n \to 0 \end{array}} \sum_{k=1}^n f(\xi_k)(x_k - x_{k-1})$

Riemann a prouvé que cette limite existe tant que la fonction est continue sur l’intervalle [a ;b].
Et si cette limite existe, elle ne dépend pas des partages choisis ni du choix des $\xi$_k. Donc elle ne dépend que de la fonction et de l’intervalle [a ;b]. Lorsqu’elle existe, on dit que f est intégrable sur l’intervalle [a ;b].

Cette limite s’appelle intégrale de f sur [a ;b] et se note : $\int_a^b f(x)dx$.

$\int_a^b f(x)dx = \lim\limits_{ \begin{array}{l} x \to \infty\\ L_n \to 0 \end{array}} \sum_{k=1}^n f(\xi_k)(x_k - x_{k-1})$

Riemann a démontré que, pour toute fonction f, continue sur l’intervalle [a ;b], celle-ci est intégrale sur ce même intervalle. En d’autres termes, si f est continue sur [a,b], la limite ci-dessus existe, et donc l’intégrale de Riemann.

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• Théorème de la moyenne (du calcul intégral)

Si f est continue sur l’intervalle fermé [a ; b] alors

$\exists ~; c \in [a ; b]$ tel que $\int_a^{b} f(x) dx = f(c) \cdot (b - a)$

Énoncer le théorème 1 des relations entre intégrale et primitive

-

En d’autres termes, l’aire sous la courbe peut s’obtenir par une somme de Riemann à un seul terme.

$\int_a^b f(x)dx$ correspond à l’aire du domaine sous f entre a et b (en bleu sur le graphique).

$f(c) \cdot (b - a)$ correspond à l’aire d’un rectangle de base b - a et de hauteur f(c) (en violet sur le graphique).

Ces deux aires sont égales et c est un point situé entre a et b.
La base supérieure du rectangle doit donc couper la courbe entre a et b.

-

Comme f est continue sur [a ; b] et selon le théorème 1, $f([a ; b]) = [m ; M]$.

Cela signifie que $m \leq f(x) \leq M ~;~;~; \forall~; x \, \in \, [a ; b]$.

Selon la propriété 8) des intégrales, nous savons que
$m(b - a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b - a)$

En divisant par (b - a) qui est positif, nous obtenons
$m \leq \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)dx \leq M$.

Donc $\frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)dx ~; \in \, [m ; M] = f([a ; b])$

Cela signifie que $\frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)dx$ est l’image par $f$ d’un élément $c$ de [a ; b].

$\Rightarrow ~; \exists ~; c \, \in \, [a ; b]$ tel que $f(c) = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)dx$

$\Rightarrow ~; f(c)(b - a) = \int_a^b f(x)dx$ pour au moins un point $c$ de [a ; b].

Notez bien qu’il pourrait y avoir plusieurs points $c$.

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• Théorème fondamental (du calcul intégral)

Si f est une fonction continue sur un intervalle I et si a, x $\in$ I alors

$J(x) = \int_a^{x} f(t)dt$ existe et est une primitive de f-

1) L’existence

Par hypothèse "f est continue donc intégrable sur I".
$\Rightarrow J(x) = \int_a^{x} f(t)dt$ existe.

2) Pour voir que J est une primitive de f, il faut montrer que

$J ’(x) = f(x) ~;~;~; \forall \, x \in \, I$

Pour cela, nous allons calculer la dérivée de J en un point x₀ quelconque à partir de la définition de la dérivée.

$\begin{eqnarray*} J’(x_0) & = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{J(x_0 + h) - J(x_0)}{h} \\ & = & {} \lim\limits_{h \to 0} \frac{\int_a^{x_0+h} ~; f(t) \, dt - \int_a^{x_0} ~; f(t) \, dt}{h} \\ & = & {} \lim\limits_{h \to 0} \frac{\int_a^{x_0} ~; f(t) \, dt + \int_{x_0}^{x_0+h} ~; f(t) \, dt - \int_a^{x_0} ~; f(t) \, dt}{h} \\ & = & {} \lim\limits_{h \to 0} \left(\frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0+h} ~!~!~!~! f(t) \, dt \right) \\ & = & {} \lim\limits_{h \to 0} \left(\frac{1}{h} f(c)(x_0 + h - x_0) \right) \\ & = & {} \lim\limits_{h \to 0} \left(\frac{1}{h} f(c)h \right) \\ & = & {} \lim\limits_{h \to 0} f(c) = f(x_0) \end{eqnarray*}$

Finalement, J’(x₀) = f(x₀) et ceci est valable pour chaque x₀ de I.
J est donc une primitive de f.

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$$

• Formule du volume de révolution

Le but est d’établir une formule permettant de calculer le volume des corps de révolution. De manière générale, une fonction qui tourne entre l’intervalle [a ;b].

Ce que nous appellerons corps de révolution sera le solide obtenu par la rotation de 360° d’une surface autour de l’axe horizontal.

Nous pouvons prouver que, pour une fonction constante, le volume engendré par la révolution sera le volume d’un cylindre.

De manière générale, nous allons partir d’une fonction f continue sur un intervalle [a ; b] pour faire tourner la surface sous f entre a et b.

Comme pour le calcul d’aires, nous allons procéder par approximation pour le calcul de volumes.

Reprenons les rectangles utilisés dans l’intégrale de Riemann, et faisons les tourner. La rotation de ces rectangles autour de l’axe horizontal engendre des cylindres de hauteur $x_k - x_k-1$ et de rayon $f(\xi_k)$ pour le k^ième rectangle de l’intégrale de Riemann. La somme de tous ces cylindres nous donne une approximation du corps de révolution de la fonction.

Le volume du k^ième cylindre est le suivant :

$\begineqnarray*
Volume & = & \pi \times rayon^2 \times hauteur\
& = & \pi \cdot f^2(\xi_k) \cdot (x_k - x_k-1)
\endeqnarray*$

La somme des volumes des $n$ cylindres s’écrit :

$\sum_k=1^n ~; \pi \cdot f^2(\xi_k) (x_k - x_k-1)$

Cette somme est une somme de Riemann, car les sommes de Riemann marchent pour toutes fonctions continues sur l’intervalle [a ; b]. Or, dans cette somme, nous avons la fonction $\pi \cdot f^2$ qui est continue sur [a ; b] (car une fonction continue multipliée par une constante reste forcément continue).

Cette somme nous donne une approximation du volume du corps de révolution. Pour avoir la valeur exacte, nous allons procéder comme pour le calcul des aires, et faire tendre $n$ vers l’infini et $L_n$ vers 0.

$V = \lim\limits_ \beginarrayl x \to \infty\ L_n \to 0 \endarray \sum_k=1^n \pi \cdot f^2(\xi_k)(x_k - x_k-1)$

Si $\pi \cdot f^2$ est continue sur [a ; b], ce que nous avons prouvé précédemment, nous savons que cette limite existe et qu’elle se note :

$V = \pi \int_a^b f^2(x)dx$

Finalement, le volume d’un corps de révolution construit à l’aide d’une fonction continue se calcule par une intégrale.

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• Intégrations par parties

Il s’agit de présenter une formule permettant de calculer certaines intégrales ou primitives qu’il n’est pas possibles de déterminer avec les techniques vues jusqu’ici.

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Considérons un intervalle I contenant les points a et b ainsi que deux fonctions dérivables sur I, f et g, telles que f’ et g’ soient continues sur I.

$\int_a^b (f’ \cdot g)(x)dx = [f(x) \cdot g(x)]~;_a^b - \int_a^b(f \cdot g’)(x)dx$

Il s’agit de la formule d’intégration par parties.
Cette formule n’est pas une formule directe. Elle ne permet que de remplacer une intégrale par une autre.
Ce procédé n’est donc efficace que lorsque la nouvelle intégrale est plus facile à calculer que la première.
De plus, elle ne s’applique qu’à des fonctions données sous forme de produit.

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Cette formule découle de la formule de dérivation du produit $(f \cdot g)’ = f’ \cdot g + f \cdot g’$ qui peut aussi s’écrire sous cette forme :

$f’ \cdot g = (f \cdot g)’ - f \cdot g’$

En intégrant terme à terme, nous obtenons ceci :

$\begin{eqnarray*} \int_a^b f’ \cdot g & = & \int_a^b\left[\left(f \cdot g\right)’ - f \cdot g’\right] \\ & = & \int_a^b \left(f \cdot g\right)’ - \int_a^b f \cdot g’ \\ & = & \left[f \cdot g\right]~;_a^b - \int_a^b f \cdot g’ \end{eqnarray*}$

On passe de la première ligne à la deuxième grâce à la propriété des intégrales, qui dit que $\int_a^b (f(x) + g(x)) dx = \int_a^b f(x) + \int_a^b g(x)$.

$(f \cdot g)$ est une primitive de $(f \cdot g)’$ donc $\int_a^b (f \cdot g)’ = [f \cdot g]~;_a^b$.

Finalement, nous avons la relation suivante :

$\int_a^b (f \cdot g’)(x)dx = [f(x) \cdot g(x)]~;^b_a - \int_a^b (f \cdot g’)(x)dx$

Notez qu’il faut choisir judicieusement les fonctions $f’$ et $g$.

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• Définition et propriétés de la fonction ln

Nous avons pu voir dans le chapitre concernant le calcul de primitives que la formule :

$\frac{x^{n+1}}{n+1} \text{ est une primitive de } x^n$ était valable $\forall n \setminus \{ -1 \}$.

En effet, on obtient une division par zéro, ce qui est assez embêtant...

Afin donc de déterminer une primitive à la fonction $x^{-1} = \frac{1}{x}$, on va appliquer le théorème fondamental du calcul intégral à ce cas particulier.

Comme la fonction $\frac{1}{x}$ est continue sur $\R^*$, on en vient à la définition suivante :

$Ln(x) = \int_1^x \frac{1}{t} dt$ où $x \in \R_+^*$

On appelle cette fonction le logarithme naturel (on démontrera qu’il s’agit bien d’un logarithme avec les propriétés qui suivent).

Conséquences :

– Le domaine de définition de $Ln(x)$ est $\R_+^*$.

– La fonction est continue et dérivable sur cet intervalle et $Ln’(x) = \frac{1}{x} ~; ~; ~; \forall x \in \R_+^*$ .

Propriétés :

– $Ln(x)$ est strictement croissante sur son domaine.

En effet, $Ln’(x) = \frac{1}{x}$ est strictement positive sur $\R_+^*$ (dérivée positive donc fonction croissante...)

– $\lim_{x \to \infty} Ln(x) = \infty$ et $\lim_{x \to 0^+} Ln(x) = - \infty$

Pour démontrer cela, on considère des rectangles sous la courbe de $\frac{1}{x}$ construits ainsi :

Le premier rectangle a une base de 1 à 2 et une hauteur de 1/2. (voir figure ci-dessous)
Le second rectangle a une base de 2 à 4 et une hauteur de 1/4.
Le premier rectangle a une base de 4 à 8 et une hauteur de 1/8.
etc...
Chacun de ses rectangles a une aire valant 1/2 et il est possible d’en construire une infinité. La somme de ces aires est donc infinie.

De plus, comme l’aire sous la courbe est plus grande que la somme des aires de ces rectangles on a :

$\lim_{ x \to \infty} Ln(x) = \lim_{ x \to \infty} \int_1^x \frac{1}{t} dt = \infty$

La seconde limite se démontre par une construction similaire...

– Ln(x) est une bijection de $\R_+^*$ vers $\R$.
Cela signifie que chaque y de $\R$ possède une unique préimage x de $\R_+^*$.

Ainsi, la préimage de y = 1 est x = 2,71828. Ce nombre est du même genre que $\pi$ et se note e (nombre d’Euler).

Cette propriété découle des deux précédentes.

– Ln(e) = 1

Graphique de la fonction Ln(x) :

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• Définition et propriétés de la fonction exp

Rappel

La fonction $Ln$ est bijective de $\R_+^*$ vers $\R$.
Cela signifie qu’elle admet une fonction réciproque.

Cette fonction réciproque s’appelle exponentielle et est notée "$Exp$".

Définition

La fonction réciproque de $Ln$ est l’exponentielle $Exp$.

Conséquences directes

1. La fonction $Exp$ est bijective de $\R$ vers $\R_+^*$.
2. Les graphes de $Ln$ et de $Exp$ sont symétriques par rapport à l’axe $y = x$.
   

   

   
   

3. $Exp$ est strictement croissante et positive.
4. $\lim_{x\,\to\,+\infty} Exp(x) = \infty$ et $\lim_{x\,\to\,-\infty} Exp(x) = 0$
5. $Exp(x) = y$ $\Longleftrightarrow$ $Ln(y) = x$
6. $Exp(0) = 1$ car $Ln(1) = 0$
   $Exp(1) = e$ car $Ln(e) = 1$

Remarques

1. De la propriété $Exp(1) = e$ nous pouvons déduire que la base de notre exponentielle est $e$.
   $e \cong 2,71828...$ est un nombre irrationnel.
   Nous pouvons donc écrire : $exp(x) = e^x$.
2. Toutes les propriétés du calcul de puissances s’appliquent donc à la fonction exponentielle.

Lien entre réciprocité et équations

$e^x$ et $Ln(x)$ sont réciproques l’une de l’autre. Cela signifie :

$Ln(x) = y \Longleftrightarrow e^y = x$

Dérivée et primitives de f(x) = $e^x$

Nous savons que $Ln(e^x) = x ~;~;~;~;~;~; \forall ~; x \, \in \, \R$

Donc,

$\begin{eqnarray*} \left(Ln\left(e^x\right)\right)’ & = & 1 \\ \frac{1}{e^x} \cdot \left(e^x\right)’ & = & 1 \\ \left(e^x\right)’ = e^x \end{eqnarray*}$

La fonction exp est égale à sa dérivée. Elle est donc aussi une de ses primitives.

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