Dynamique du solide rigide
Détermination d’un moment d’inertie
Cylindres roulant sur un plan incliné

Détermination du moment d’inertie de deux cylindres de même masse (matières différentes) roulant sur un plan incliné par mesure des temps de parcours.

Article mis en ligne le 23 novembre 2005
dernière modification le 11 avril 2015

par Bernard Vuilleumier

Un cylindre en aluminium plein et un cylindre en laiton évidé ont la même masse et le même rayon. Pourtant, lorsqu’ils roulent sur un plan incliné, ils ne subissent pas la même accélération. Cela est dû au fait que la matière n’est pas répartie de la même manière autour de l’axe de rotation pour les deux cylindres. La grandeur physique qui tient compte de cette répartition de la masse s’appelle le moment d’inertie.
Détermination d'un moment d'inertie
Utiliser le modèle (nécessite Wolfram CDF Player)

Vous laissez rouler deux cylindres de même masse m, de même rayon r et de même longueur sur un plan incliné formant un angle \theta avec l’horizontale et vous constatez qu’ils ne subissent pas la même accélération. Cela est dû au fait que la masse n’est pas répartie de la même façon autour de l’axe de rotation des cylindres. Le cylindre en aluminium est plein alors que le cylindre en laiton est évidé. La grandeur qui tient compte de la façon dont la masse est répartie par rapport à un axe de rotation est le moment d’inertie. Cette expérience va vous permettre de déterminer expérimentalement le moment d’inertie de deux cylindres, l’un d’aluminium, l’autre de laiton.

Théorie

Un cylindre (ou une bille) posé sur un plan incliné subit trois forces : son poids m\vec g, une force de frottement \vec F et une force de soutien \vec N normale au plan. En projetant ces forces sur un axe parallèle au plan et en faisant usage de la relation fondamentale de la dynamique :

\Sigma\vec F=m\vec a

on obtient la grandeur de l’accélération du centre de masse (équation 1) :

a=gsin\theta-\frac{F}{m}

L’accélération angulaire \alpha=\frac{a}{r} du cylindre s’obtient à partir de la relation fondamentale de la dynamique appliquée aux corps solides en rotation :

\Sigma M=I\alpha

où \Sigma M est la somme des moments de force qui agissent sur le cylindre et I le moment d’inertie du cylindre. La seule force dont le moment n’est pas nul est \vec F. La relation ci-dessus s’écrit donc (équation 2) :

Fr=I\alpha

En éliminant la force de frottement entre l’équation 1 et l’équation 2, on peut exprimer l’accélération a du cylindre en fonction du moment d’inertie :

a=\frac{mr^2gsin\theta}{mr^2+I}

But
Déterminer expérimentalement le moment d’inertie d’un cylindre. Comparer la valeur expérimentale à la valeur théorique. Les mesures doivent vous permettre d’obtenir la grandeur a de l’accélération des cylindres à partir de laquelle vous déterminerez leurs moments d’inertie.

  1. Pesez les deux cylindres et estimez l’incertitude sur les masses.
  2. Mesurez les dimensions des cylindres (rayon, rayon intérieur, longueur) et estimez l’incertitude sur ces dimensions.
  3. Mesurez la distance séparant les deux cellules photoélectriques et estimez l’incertitude sur cette distance.
  4. Mesurez l’inclinaison du plan.
  5. Mesurez le temps nécessaire à chaque cylindre pour franchir la distance séparant les deux cellules photoélectriques pour différentes inclinaisons du plan (5 au minimum) en répétant plusieurs fois la mesure pour chaque inclinaison.

Calculs et graphiques

  1. Calculez la masse volumique de chaque cylindre et l’incertitude sur celle-ci.
  2. Calculez le temps moyen de roulement pour chaque inclinaison.
  3. Calculez les accélérations des cylindres pour les différents angles et l’incertitude sur celles-ci.
  4. Reportez graphiquement l’accélération des cylindres en fonction du sinus de l’angle d’inclinaison.
  5. Calculez les moments d’inertie des cylindres et l’incertitude sur ceux-ci à partir des pentes des droites obtenues.
  6. Comparez ces moments aux valeurs calculées en utilisant les formules des « Tables et formulaires CRM ».