(1) Un signal lumineux qui avance selon l’axe x dans Σ se propage à vitesse constante d’après l’équation x = ct, ou :

$${x-ct}=0$$

(2) Puisque le même signal se propage aussi avec la vitesse c dans un autre système Σ’ en translation uniforme par rapport à Σ, la propagation relativement à Σ’ sera donnée par :

$x$’$-ct$’$ =0$

(3) Les points de l’espace temps qui satisfont l’équation (1) doivent aussi satisfaire l’équation (2). C’est le cas si la relation suivante est satisfaite :

$${x’ -ct’ }={\lambda(x-ct)}$$

(4) Dans la relation (3), λ désigne une constante et si x - ct s’annule, cela entraîne que x’ - ct’ s’annule aussi. Une considération analogue appliquée à un signal se propageant dans l’autre sens fournit la condition :

$x’+ct’=\mu(x+ct)$

Par l’addition ou la soustraction des équations (3) et (4), où pour des raisons de simplification nous introduisons, au lieu des constantes λ et μ, les constantes :

$a=\frac{\lambda+\mu}{2}$ et $b=\frac{\lambda-\mu}{2}$

(5) nous obtenons :

$x’ = ax - bct$
$ct’ = act - bx$

Le problème serait résolu si les constantes a et b étaient connues. Nous les obtenons à partir des considérations suivantes : pour l’origine du système Σ’, nous avons d’une manière permanente x’ = 0 et par conséquent, d’après la première des équations (5) :

$x = \frac{bc}{a}t$

(6) En désignant par v la vitesse à laquelle l’origine de Σ’ se meut relativement à Σ, nous avons :

$v = \frac{bc}{a}$

D’après le principe de relativité, la longueur, dans le système Σ, d’une règle unité qui est au repos relativement à Σ’ doit être exactement la même que celle, dans Σ’, d’une règle unité qui est au repos relativement à Σ. Pour voir comment se présentent, dans Σ, les points de l’axe x’, nous prenons un « instantané » de Σ’. Cela signifie que nous devons introduire pour t (temps de Σ) une valeur déterminée, par exemple t = 0. De la première des équations (5), nous obtenons, pour cette valeur de t :

$x’ = ax$

(7) Deux points de l’axe des x’, qui sont séparés par la distance x’ = 1, mesurée dans Σ’, sont séparés sur notre instantané par la distance :

$x = \frac{1}{a}$

Pour voir comment se présentent, dans Σ’, les points de l’axe x, nous prenons un « instantané » de Σ. Nous choisissons t’ = 0. Nous obtenons en éliminant t de (5) et en tenant compte de (6) :

$x’ = a(1-\frac{v^2}{c^2})x$

(7a) Nous en concluons que deux points de l’axe des x séparés par la distance x = 1, sont distants, sur l’instantané de :

$x’ = a(1-\frac{v^2}{c^2})$

(7b) D’après le principe de relativité, les deux instantanés doivent être identiques. Nous avons donc :

$a^2 = \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Les équations (6) et (7b) déterminent les constantes a et b. En portant les valeurs de ces constantes dans (5), nous obtenons la transformation de Lorentz pour des événements sur l’axe des x :

$x’ = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
$t’ = \frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

L’extension de ce résultat à des événements qui ont lieu en dehors de l’axe x est obtenue en ajoutant les relations :

$y’ = y$
$z’ = z$