Problème 1

a) L’équation différentielle générale permettant d’obtenir les graphiques demandés est la suivante :

$y’(t) = c \cdot y(t) (y_{max}-y(t))$
$y(0) = y_0$

Les valeurs que nous pouvons d’ores et déjà déterminer sont les suivantes :

Données	Valeurs
y0	0.1
ymax	1

C’est le paramètre "c" qui changera la courbure des 4 courbes demandées.

b) Elle peut se résoudre à l’aide de Mathematica, de la manière suivante :

DSolve[y'[x] == c*y[x]*(1-y[x]),y[x],x] y[x] = E^(c x)/(9 + E^(c x))

c) Le paramètre c doit être égal aux valeurs suivantes afin d’obtenir les graphiques demandés :

Courbes	c
#1	0.4
#2	0.6
#3	0.8
#4	1.0

Ce paramètre est bien sûr estimé et possède une marge d’erreur de ± 0.05.

d) L’occupation d’une niche écologique pourrait être un exemple de ce modèle.

e) Dans cette condition, les données sont les suivantes :

Données	Signification
y(t)	Le nombres d’individus, ou la population en fonction du temps.
y’(t)	L’augmentation des naissances par unité de temps.
y0	La population initiale lorsque t = 0.
ymax	La population maximale, ou la capacité du milieu.
c	Paramètre ou taux de croissance de la population.

Problème 2

a) L’équation peut s’écrire de manière différente afin d’être résolue plus facilement grâce à Mathematica :

$\frac{dy}{dx} = e^{-y} Cos^2(\pi x)$

$y’(x) = E^{-y} Cos^2(\pi x)$

Donc, elle peut être résolue de la manière suivante :

DSolve[y'[x] == e^(-y[x])*Cos[Pi * x]^2,y[x],x] y[x] == Log[ C[1] + 1/2(x + Sin[2*Pi*x]/(2Pi))]

b) Sachant qu’en x = 0, y = ln(e), le graphique de la solution pour 0 < x < $\pi$ est le suivant :

Problème 3

a) La solution de l’équation y’ = 2x² - y/x satisfaisant la condition initiale est la suivante :

DSolve[{y'[x] == 2x^2 - y[x]/x, y[1] == 3}, y[x], x] y[x] = (5 + x^4)/2x

b) Le graphique de cette solution pour -4 < x < 4 est le suivant :

Problème 4

a) La solution générale de l’équation x’’ + x = 0 est la suivante :

DSolve[x''[t] + x[t] == 0, x[t], t] x[t] = C[1] * Cos[t] + C[2] * Sin[t]

b) Pour déterminer les valeurs des constantes d’intégration sachant qu’en t = 0, x = 1 et x’[t] = 2, il faut poser les conditions dans Mathematica de la manière suivante :

DSolve[{x''[t] + x[t] == 0, x[0] == 1, x'[0] == 2}, x[t], t] x[t] = Cos[t] + 2 Sin[t]

c) Le graphique de cette solution satisfaisant les conditions pour t variant de 0 à $2\pi$ est le suivant :

d) Pour obtenir la solution correspondant aux valeurs aux limites x(0) = 1 et $x(\frac{\pi}{2}) = 0$, il faut poser les conditions et résoudre l’équation avec Mathematica, puis dessiner la fonction, de la manière suivante :

DSolve[{x''[t] + x[t] == 0, x[0] == 1, x[Pi/2] == 0}, x[t], t] x[t] = Cos[t] Plot[Cos[t],{t,0,2Pi}]

Ce qui nous donne le graphique suivant :

Problème 5

a) Pour résoudre numériquement le système d’équations :

$x’(t) = 1 + x(t)²y(t) - \frac{7}{2} \cdot x(t)$
$y’(t) = \frac{5}{2} \cdot x(t) - x(t)²y(t)$

Il faut savoir que pour résoudre numériquement une équation, il faut déterminer une portée pour t, allant d’un t_min à un t_max. Nous allons donc déterminer t_min = 0, et t_max = 10, répondant ainsi directement au deuxième point, et utiliser la formule NDsolve dans Mathematica de la manière suivante :

NDSolve[{x'[t] == 1+x[t]^2*y[t]-7/2*x[t],y'[t] == 5/2*x[t]-x[t]^2*y[t],x[0] == 0,y[0] == 0},{y[t],x[t]},{t,0,1}]

b) Le graphique obtenu de ce système d’équations, avec t variant de 0 à 10, est le suivant :

c) Pour x(0) variant de 0 à 3, il faut lancer dans Mathematica le code suivant :

sol=Table[NDSolve[{x'[t] == 1+x[t]^2*y[t]-7/2*x[t],y'[t] == 5/2*x[t]-x[t]^2*y[t],x[0] == x0,y[0] == 0},{y[t],x[t]},{t,0,1}],{x0,0,3}]; Table[Plot[sol[[x0, 1, 1, 2]], {t, 0, 1}],{x0,1,4}]; Table[Plot[sol[[x0, 1, 2, 2]], {t, 0, 1}], {x0, 1, 4}];

Les quatre premiers graphiques sont les graphiques de x(t), les quatre suivants sont les graphiques pour y(t).