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Réaction chimique oscillante

bernard.vuilleumier — 2017-02-07T15:00:00Z

Belousov découvrit en 1958 que l'oxydation de l'acide citrique par le bromate de potassium catalysé par des ions céreux-cériques pouvait donner lieu à une réaction chimique oscillante et Zhabotinski poursuivit cette étude [1]. La réaction de Belousov Zhabotinski s'étudie d'habitude à 25 °C et consiste en un mélange comportant du bromate de potassium, de l'acide malonique ou bromomalonique et du sulfate cérique dissous dans l'acide sulfurique. Elle peut donner lieu à une grande variété de phénomènes allant des oscillations d'une période de quelques dizaines de secondes à l'apparition de phénomènes ondulatoires. Modélisation de la réaction.

Idealized Belousov-Zhabotinsky Reaction from the Wolfram Demonstrations Project by Luca Zammataro

Le modèle

Notations

Nous proposons un modèle permettant de simuler l'évolution des concentrations des trois substances principales, concentrations que nous désignerons de la manière suivante :

X =[HBrO₂] Y =[Br^-] Z =2[Ce⁴⁺]

Écrivons encore :

A=B=[BrO₃^-]

Schéma réactionnel

Le mécanisme de Noyes [2] peut alors s'exprimer par les étapes suivantes :

A+Y$\rightarrow$X X+Y$\rightarrow$P B+X$\rightarrow$2X+Z 2X$\rightarrow$Q Z$\rightarrow$Y

Ce schéma réactionnel, appelé « Oregonateur », comporte un mécanisme de catalyse croisée : Y produit X, X produit Z qui en retour produit Y.

Équations différentielles correspondant au schéma réactionnel

En examinant où chaque substance apparaît ou disparaît dans le schéma réactionnel, en admettant une variation proportionnelle aux concentrations en présence et en posant A=B, on établit les équations différentielles :

$\frac{dX}{dt}=AY+AX-XY-X^2$ $\frac{dY}{dt}=Z-AY-XY$ $\frac{dZ}{dt}=AX-Z$

Diagramme Stella traduisant les équations différentielles

Les équations différentielles se traduisent aisément en un diagramme Stella qui met ici en évidence le mécanisme de catalyse croisée :

Oregonateur

Le diagramme Stella met bien en évidence le mécanisme de catalyse croisée : Y produit X, X produit Z qui produit Y.

Constantes cinétiques et paramètre d'ajustement

Pour simuler une réaction oscillante, nous introduisons les constantes cinétiques $k_i$ et un paramètre d'ajustement f dans les équations [3] :

$\frac{dX}{dt}=k_1AY-k_2XY+k_5AX-2k_6X^2$ $\frac{dY}{dt}=-k_1AY-k_2XY+fk_7Z$ $\frac{dZ}{dt}=k_5AX-k_7Z$

En résolvant ces équations et en reportant les concentrations X, Y et Z en fonction du temps, on fait alors clairement apparaître des oscillations :

Oscillation des concentrations en fonction du temps

Avec un choix judicieux des concentrations initiales X₀, Y₀, Z₀, des constantes cinétiques k_i et du paramètre d'ajustement f, on fait apparaître des oscillations.

Concentrations initiales, constantes cinétiques et paramètre f

INIT X = 0.25
flux_X = k1*A*Y+k5*A*X-k2*X*Y-2*k6*X^2 INIT Y = 2.1
flux_Y = f*k7*Z-k1*A*Y-k2*X*Y INIT Z = 0.83
fluy_Z = k5*A*X-k7*Z A = 1
f = 1
k1 = 0.05
k2 = 0.8
k5 = 1.58
k6 = 0.2
k7 = 0.4

Utiliser un simulateur de la réaction

Conclusion

Ce type de réaction illustre le fait que le comportement thermodynamique d'un système peut être très différent loin de l'équilibre et à l'opposé de celui prévu par le théorème de production minimale d'entropie établi par Prigogine [4]. Le non-équilibre peut être une source d'ordre.

Voir aussi (from Wolfram Demonstrations Project)
– Complex Dynamics in Chemical Self-Replication
– Idealized Belousov Zhabotinsky Reaction

Wolfram Demonstrations Project : mode d'emploi

Voir en ligne : réaction oscillante de Briggs-Rauscher (vidéo You Tube)

[1] voir Nicolis, G. et Prigogine, I., 1977, Self-organization in non-equilibrium systems, New-York, Wiley.

[2] Noyes, R. M. et Field, R. J.. 1974, Ann. Rev. Phys. Chem. 25, 95.

[3] J'ai reproduit les équations que Florian Metzger du Lycée Fabert de Metz m'a fournies en me demandant si je connaissais des conditions initiales et des valeurs des constantes k et du paramètre f qui permettent d'obtenir des oscillations.

[4] Prigogine, I. 1945, Ac. Roy. Belg., Bull. Cl. Sci. 31, 600.

Caractéristiques techniques d'un véhicule

Yannis Pieraggi — 2007-01-28T07:45:50Z

Dans cet article, je tâcherai de modéliser le comportement d'une voiture en mouvement, en prenant compte des caractéristiques du constructeur.

Avant de commencer, il faut choisir une voiture. J'ai utilisé les données techniques d'une BMW M3-E46 CSL, quitte a choisir une voiture, autant en prendre une qui soit prestigieuse.

Je commencerai par construire un modèle simple en deux dimensions, avec l'accélération de la voiture définie comme la somme des forces divisée par la masse. Après je rajouterai la force de frottement et je changerai la vitesse en kilomètres par heure au lieu des mètres par seconde.

les caractéristiques fournies par le constructeur

Cx = 0.33 Hauteur = 1.352 (m) Largeur = 1.78 (m) Masse = 1 395 (kg) Puissance (en chevaux) = 360 (cx)

Vitesse maxi : 250 km/h à 6 400 tr/min De 0 à 100 km/h : 4,8 secondes De 0 à 1.000 mètres : 23,8 secondes

Nous prendrons donc le cas d'une voiture, démarrant à l'arrêt, donc en position nulle, dont la vitesse et l'accélération sont nulle. Nous nous pencherons sur sa vitesse, son accélération ainsi que sa position au cours du temps. Les caractéristiques techniques de la voiture (dimensions, puissance, ...) nous sont fournies par le constructeur. Nous utiliseront l'intégrateur numérique STELLA pour construire un modèle et obtenir des sorties graphiques.

– Les conditions initiales de la voiture sont donc $v=0, a =0, x=0$

– Note : masse volumique de l'air $\rho=1.293kg/m^3$

Le modèle

Nous savons que l'accélération d'un objet (ici d'une voiture) dépend de la force résultante divisée par la masse. Pour l'instant le modèle ne comporte pas encore la force de frottement, je la rajouterai dans le modèle suivant. Il y a seulement la force de traction de la voiture.

$\vec{a}=\frac{\vec{F}_r_e_s}{masse}$

Pour définir l'accélération d'un mobile, on utilise la force de traction et la masse du véhicule. L'accélération est donc la somme des force (ici simplement la force de traction) divisée par la masse.

– Afin d'exprimer les chevaux en watt, il faut multiplier les chevaux par 736 (l'on passe des chevaux a la puissance) puis diviser cette puissance obtenue par la vitesse du véhicule plus 20, afin d'éviter que la force de traction soit nulle si la vitesse est égale à 0 (ici l'ont passe de la puissance à la force de traction).

$F_t_r_a_c_t_i_o_n=\frac{chevaux \times736}{vitesse+20}$

Il s'agit du modèle le plus simple, parce qu'il ne prend pas en compte la force de frottement. Mais sans la force de frottement l'accélération de la voiture est constante et n'arrête pas d'augmenter et tend vers l'infini, de même que la vitesse qui augmente sans fin, parce que la voiture n'est pas freinée pas la force de frottement.

Ajout de la force de frottement au modèle

Une fois ce modèle construit, on peut rajouter la force de frottement. Comme la force de traction est une force qui tire la voiture vers l'avant (le mot "traction" vient de tracter, d'ailleur cette BMW est une traction, bien que dans le cas des voitures à propulsion, on devrait logiquement appeller cela la force de propulsion) la force de frottement est une force qui freine la voiture, et qui se soustrait donc à la force de traction. Je rappelle juste que pour définir l'accélération. il s'agit de la résultante des forces, donc la force de traction moins la force de frottement, le tout divisé par la masse du véhicule.

$F_f_r_o_t_t_e_m_e_n_t=\frac{1}{2} \times C_x \times S \times rho \times v^2$

– La force de frottement dépend du coefficient de pénétration (Cx), du de la masse volumique du milieu (rho), de la section apparente (S), qui est la hauteur fois la largeur du véhicule, et du carré de la vitesse (v au carré).

Construisons donc ceci :

– Afin de passer des mètres par seconde au kilomètres par heure (qui reste quand même une unité plus pratique), il faut multiplier la vitesse par 3,6.

Et voila le modèle final !

Données techniques

Position_X(t) = Position_X(t - dt) + (Flux_vitesse) * dt INIT Position_X = 0 INFLOWS: Flux_vitesse = Vitesse Vitesse(t) = Vitesse(t - dt) + (Accélération) * dt INIT Vitesse = 0 INFLOWS: Accélération = (Traction-Force_de_frottement)/Masse Cx = 0.33 Force_de_frottement = 0.5*Cx*rho*S*Vitesse^2 Hauteur = 1.352 Largeur = 1.78 Masse = 1395 Puissance = Puissance_en_CV*736 Puissance_en_CV = 360 rho = 1.293 S = Largeur*Hauteur Traction = Puissance/(Vitesse+20) vitesse_en_kmh = Vitesse*3.6

Le résultat sous forme graphique

Performances de la BMW M3-E46 CSL selon STELLA

Cette voiture met 5.08 s pour passer de 0 à 100 km/h

Sa vitesse maximale est 266.62km/h et elle l'atteint au bout de 119.99 s soit 1 minute et 59.99 s

Elle met 23.27 s pour faire 1000m

données constructeur

Vitesse maxi : 250 km/h à 6 400 tr/min {{(limité)}} De 0 à 100 km/h : 4,8 secondes De 0 à 1.000 mètres : 23,8 secondes

En résumé

Nous pouvons donc dire que notre précision est bonne, sans être exceptionnelle. Notre manque de précision comparé aux données du constructeur est dû a certaines forces qui ont été simplifiées (comme prendre l'aire d'un rectangle pour la surface d'une face avant de voiture, ce n'est pas très précis), ou d'autres forces qui n'ont pas été prises en compte (telles que la force de frottement des pneus et de la route, etc ...) De plus sur le site ou figure les données constructeur, les mesures sont souvent revues à la hausse, afin de promouvoir les performances de la voiture.

Mais en fin de compte notre simulation est juste et la précision est acceptable.

Comment faire varier automatiquement un paramètre ?

bernard.vuilleumier — 2007-01-04T13:33:42Z

Stella offre la possibilité de réaliser des analyses en sensibilité en faisant varier automatiquement un paramètre dans un modèle. L'angle d'un tir par exemple peut prendre des valeurs comprises entre $\alpha_{min}$ et $\alpha_{max}$ pour un nombre de simulations arbitraires.

L'article « Sensitivity Specifications » du menu « Run »

Pour faire varier automatiquement un paramètre dans un modèle, il faut choisir Sensi Specs… dans le menu Run :

Modèle du tir avec frottement

vx(t) = vx(t - dt) + (ax) * dt INIT vx = v0*COS(alpha0) ax = -Ffrott*COS(alpha)/m INIT vy = v0*SIN(alpha0) ay = -g-(Ffrott*SIN(alpha))/m INIT x = 0 vitx = vx y(t) = y(t - dt) + (vity) * dt INIT y = 0 vity = vy alpha = IF vx=0 THEN PI/2 ELSE ARCTAN(vy/vx) alpha0 = alpha0_en_degré/180*PI alpha0_en_degré = 60 C = 0.24 Ffrott = 0.5*rho*S*C*v^2 g = 10 m = 0.3 r = 0.15 rho = 1.29 S = PI*r^2 v = SQRT(vx^2+vy^2) v0 = 18

Pour le modèle ci-dessus, vous obtenez la fenêtre :

Stella propose par défaut 3 simulations, mais vous pouvez changer ce nombre. Vous sélectionnez le paramètre à faire varier dans le cadre Allowable et vous le faites passer dans Selected Value. Vous cliquez ensuite sur le paramètre sélectionné : les champs Start et End s'activent. Vous entrez $\alpha_{min}$ et $\alpha_{max}$ et vous cliquez sur Set. Vous devriez obtenir quelque chose qui ressemble à :

Vous cliquez sur le bouton Graph et vous fabriquez la représentation qui vous intéresse. En l'occurrence, il s'agit d'un Scatter sur lequel vous reportez x et y. N'oubliez pas de cocher Comparative !

Lancez la simulation depuis le menu Run qui comporte maintenant un article S-Run :

Stella effectue le nombre de simulations demandées en faisant varier l'angle de tir de $\alpha_{min}$ à $\alpha_{max}$.

Pour quitter le mode S-Run, il faut décocher la case Sensitivity On de la fenêtre des réglages.

Correspondance entre cartes et équations différentielles

bernard.vuilleumier — 2006-11-11T15:37:06Z

Un modèle Stella correspond en général à une équation différentielle. Un flux intègre numériquement la fonction qui le définit et le réservoir auquel il est associé donne le résultat de l'opération au cours du temps.

Équation du premier ordre : le mécanisme de base de Stella

En associant un flux à un réservoir y et en établissant un lien entre le réservoir et le flux, on peut définir une relation entre une fonction $y(t)$ (le réservoir) et sa dérivée $\dot y (t)=\frac{dy}{dt}$ (le flux). En écrivant par exemple flux=y on obtient un modèle qui correspond à l'équation différentielle :

$\dot y (t)=c y(t)$

où c est une constante de proportionnalité entre le flux et le réservoir. En notation Mathematica, cette équation s'écrit :

y'[t] == c*y[t]

N. B. La dérivée d'une fonction $y(t)$ par rapport au temps se note habituellement $\dot y (t)$ en physique. Dans Mathematica, la dérivée d'une fonction $y$, quelle que soit la variable indépendante ($t$, $x$, …) se note toujours $y$' et l'égalité se traduit par deux signes « égal », l'usage d'un seul signe étant réservé à l'opération d'affectation.

Équation du deuxième ordre

L'équation du mouvement d'un objet accroché à un ressort par exemple, qui s'obtient à partir de la relation fondamentale de la dynamique $\Sigma \vec F=m\vec a$ est du deuxième ordre. Elle s'écrit, si on néglige tout frottement :

$\ddot y (t)=-\frac{k}{m} y(t)$

où $k$ est la raideur du ressort et $m$ la masse de l'objet. En notation Mathematica, cela donne :

y''[t] == -k/m*y[t]

Mathematica permet de résoudre cette équation et donne la solution sous forme d'une fonction :

DSolve[{y''[t] == -k/m*y[t], y[0] == 0.1, y'[0] == 0}, y[t], t]

Stella intègre numériquement cette équation à l'aide du modèle suivant :

dans lequel on aura par exemple posé :

k = 5 m = 0.2 a = -k/m*y INIT v = 0 flux_v = v INIT y = 0.1

et fournit les valeurs prises par la fonction $y(t)$ au cours du temps :

N. B. L'intégration numérique peut donner lieu à des comportements aberrants si le pas et la méthode d'intégration ne sont pas convenablement choisis.

Conclusion

Résoudre une équation différentielle revient à trouver une fonction inconnue $y(t).$ Une équation différentielle peut s'exprimer de différentes manières. Le logiciel Stella représente ce type d'équations à l'aide de « flux » reliés à des « réservoirs ». Dans un modèle comportant un flux relié à un réservoir, le flux est équivalent à la dérivée $\dot y (t)$ de la fonction et le réservoir représente la fonction inconnue $y(t).$ Mathematica est capable de trouver et d'exprimer la fonction inconnue $y(t).$ Stella ne donne que les valeurs numériques prises par la fonction $y(t)$ au cours du temps.

Initiation à la modélisation et à SPIP

bernard.vuilleumier — 2006-10-01T14:18:50Z

Vous allez apprendre à utiliser SPIP en rédigeant et en illustrant un bref article apportant une réponse à une des questions posées ci-dessous. Vous vous familiariserez ainsi avec les principales fonctions d'édition de cet outil. Vous disposerez de temps en classe pour effectuer ce travail et pour poser les questions nécessaires à sa réalisation. Vous pourrez aussi poser des questions « en ligne » en dehors du cours.

Rédigez un court article illustré qui répond à une des questions suivantes :

Vous pouvez chercher les réponses sur le site « OWL Math & Sciences » ou ailleurs et poser des questions en cliquant sur le bouton « Répondre à cet article » qui se trouve ci-dessous.

Forces exercées sur une masse accrochée à un ressort

bernard.vuilleumier — 2006-09-30T14:38:37Z

Une masse accrochée à un ressort constitue un oscillateur harmonique. Dans ce système, la masse est soumise à deux forces : son poids et la force de rappel due au ressort. Par un choix judicieux de l'origine de l'axe qui repère la position de la masse, il est possible de « neutraliser » la contribution du poids. L'examen du système peut alors se faire en considérant uniquement la force de rappel exercée sur la masse par le ressort lorsqu'elle s'écarte de sa position d'équilibre.

Considérons un ressort accroché au plafond. Suspendons une masse à l'extrémité libre du ressort et lâchons-la. Nous avons un oscillateur harmonique.

Oscillateur harmonique

Animation réalisée avec Mathematica et tirée de VisualDSolve de Stan Wagon.

Repérons la position de la masse depuis deux systèmes de référence.

l'origine 0 du premier système coïncide avec l'extrémité libre du ressort « à vide » et l'axe Oy est vertical orienté vers le haut.
l'origine 0 de second système coïncide avec la position d'équilibre de la masse accrochée au ressort et l'axe Oh est vertical orienté vers le haut.

Repérage de la masse depuis deux systèmes de référence

À gauche, l'origine de l'axe coïncide avec l'extrémité libre du ressort. À droite, l'origine de l'axe coïncide avec la position d'équilibre de la masse.

Accélération de la masse

Dans le premier système, si on accroche la masse au ressort, son accélération vaudra -g-ky/m
Dans le deuxième, son accélération est donnée par -kh/m.

En faisant coïncider l'origine de l'axe qui repère la masse avec sa position d'équilibre, on annule les forces qui agissent sur elle lorsqu'elle se trouve dans cette position (le poids est compensé par la force de rappel). La force exercée sur la masse pour n'importe quelle autre position ne dépend alors plus que de l'écart par rapport à cette position d'équilibre.

Premier modèle

L'origine de l'axe qui repère la position de la masse oscillante coïncide avec l'extrémité libre du ressort.

Modèle simulant le mouvement d'un oscillateur harmonique

Équations du modèle

INIT v = 0 a = -g-k*y/m INIT y = 0 flux_y = v Ecin = m*v^2/2 Eelastique = k*y^2/2 Emec = Ecin+Eelastique+Epot Epot = m*g*y g = 9.8 k = 100 m = 0.5

Résultats

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse

La somme de l'énergie cinétique, élastique et potentielle est constante et correspond à l'énergie mécanique du système qui vaut ici 0 J.

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse : la somme de l'énergie cinétique, élastique et potentielle est constante et correspond à l'énergie mécanique du système

Deuxième modèle

L'origine de l'axe qui repère la position de la masse oscillante coïncide avec sa position d'équilibre.

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse

La somme de l'énergie cinétique de la masse et élastique du ressort est constante et est égale à l'énergie mécanique du système qui diffère de celle obtenue dans le premier modèle.

Équations du modèle

INIT v = 0 a = -k*h/m INIT h = 9.81*m/k flux_v = v Ecin = m*v^2/2 Eelastique = k*h^2/2 Emec = Ecin+Eelastique k = 100 m = 0.5

Résultats

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse

La somme de l'énergie cinétique de la masse et élastique du ressort est constante et est égale à l'énergie mécanique du système qui diffère de celle obtenue dans le premier modèle.

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse : la somme de l'énergie cinétique de la masse et élastique du ressort est constante et est égale à l'énergie mécanique du système qui diffère de celle obtenue dans le premier modèle.

Pour les deux modèles

Run Spec: From: 0 To: 1 DT: 0.01 Integration Method: Runge-Kutta 4.

Conclusion

Les deux modèles permettent de vérifier que l'énergie mécanique du système est conservée. Le deuxième modèle, en faisant coïncider l'origine de l'axe avec la position d'équilibre de la masse permet de « neutraliser » la contribution du poids et simplifie le problème. La seule force qui agit alors sur la masse est une force de rappel proportionnelle à l'écart par rapport à cette position d'équilibre.

Voir aussi
– L'oscillateur harmonique
– Rotation et oscillation
– Oscillateur harmonique
– Le saut à l'élastique
– Saut à l'élastique, cas général
– Circuit électrique et oscillateur harmonique
– Oscillations
– Exercices sur les oscillations harmoniques

Tir avec frottement

bernard.vuilleumier — 2006-09-23T10:23:12Z

Lorsqu'on connaît les forces qui agissent sur un mobile, Stella permet d'obtenir, par intégration de l'accélération du mobile, sa vitesse et sa position en fonction du temps. Pour un projectile subissant, outre son poids, une force de frottement proportionnelle au carré de sa vitesse, il n'est pas possible d'exprimer l'horaire de la vitesse et de la position à l'aide de fonctions. Il faut intégrer numériquement la fonction donnant l'accélération pour obtenir ces horaires.

Le modèle

Modèle du tir avec frottement

L'accélération du mobile est définie à partir de ses composantes selon Ox et Oy. Un test sur le signe des composantes de la vitesse permet de fixer le signe des composantes de l'accélération due à la force de frottement, qui est toujours opposée à la vitesse.

Modèle du tir avec frottement. L'accélération du mobile est définie à partir de ses composantes selon Ox et Oy. Un test sur le signe des composantes de la vitesse permet de fixer le signe des composantes de l'accélération due à la force de frottement, qui est toujours opposée à la vitesse.

Définitions et valeurs numériques utilisées

INIT vx = v0*COS(alpha0) ax = IF vx >= 0 THEN -Fx/m ELSE Fx/m INIT vy = v0*SIN(alpha0) ay = IF vy >=0 THEN (-P-Fy)/m ELSE (-P+Fy)/m INIT x = 0 flux_vx = vx INIT y = 0 flux_vy = vy alpha0 = alpha0_en_degre/180*PI alpha0_en_degre = 38 C = 0.24 Fx = 0.5*rho*S*C*vx^2 Fy = 0.5*rho*S*C*vy^2 g = 9.81 m = 0.2 P = m*g r = 0.15 rho = 1.293 S = PI*r^2 v0 = 30

Résultats de la simulation

Points d'impact pour différents angles de tir

L'angle de tir varie de 36 à 40° par pas de 1°. Run specs : From : 0 To : 5 s. DT : 0.005 s. Integration Method : Runge-Kutta 4,

Points d'impact pour différents angles de tir. L'angle de tir varie de 36 à 40° par pas de 1°. Run specs : From : 0 To : 5 s. DT : 0.005 s. Integration Method : Runge-Kutta 4.

La portée maximale vaut environ 28.06 m pour un angle de tir de 38°.

Portée du tir

Angle de tir : 38°. Vitesse initiale : 30 m/s. Masse du ballon : 200 g. Rayon du ballon : 15 cm.

Portée du tir. Angle de tir : 38°. Vitesse initiale : 30 m/s. Masse du ballon : 200 g. Rayon du ballon : 15 cm.

Mouvement dans un référentiel tournant

bernard.vuilleumier — 2006-09-18T08:03:14Z

Pour rendre compte des mouvements observés dans un référentiel tournant, il faut modifier les lois de la mécanique car ce référentiel n'est pas galiléen. Il suffit d'introduire, en plus des forces réelles, des forces fictives, qu'on appelle forces d'inertie.

Observations
– Observez attentivement la séquence vidéo du carrousel
– Estimez le plus précisément possible les grandeurs suivantes :

dimensions et vitesse angulaire du carrousel
positions et vitesses initiales des différents mobiles sur le carrousel
distances parcourues par les mobiles et temps de parcours
positions finales.

– Dessinez quelques trajectoires observées dans le système lié au carrousel.

Questions
– Quelles sont les forces qui agissent sur le mobile ?
– Dessinez, pour quelques positions, ces différentes forces et leur résultante.
– Dessinez un système d'axes orthonormés Oxy attaché au carrousel.
– Exprimez les composantes de l'accélération du mobile selon Ox et Oy.

Construction d'un modèle
– Construisez la « carte » STELLA illustrant les relations entre les composantes des vecteurs accélération, vitesse et position.
– Définissez les relations entre les différents éléments de votre modèle :

en négligeant la force de frottement qui agit sur le mobile
en tenant compte d'une force de frottement proportionnelle à sa vitesse.

Simulation
– Introduisez les valeurs numériques estimées lors de l'observation.
– Simulez différents mouvements (sans et avec frottement).
– Comparez les résultats de vos simulations à vos observations.

N. B. Pour faire apparaître et utiliser une mini-application dans cette fenêtre, vous devez installer Wolfram CDF Player sur votre poste.

Forces de frottement

2006-03-21T21:06:32Z

Les problèmes de dynamique faisant intervenir des forces de frottement dues à l'air donnent lieu à des équations différentielles non linéaires qui doivent être résolues numériquement. Stella, qui est un intégrateur numérique, est particulièrement bien adapté à cette tâche.

Exercice 1

Un cycliste d'une masse totale de 80 kg roule sur une route horizontale à la vitesse v=15 m/s. Il arrête de pédaler. Il est alors soumis à une force de frottement due à l'air F_air=0.3 v² et à une force de frottement de contact F_contact égale à 2% de son poids.
– Etablissez les graphiques donnant la position, la vitesse et l'accélération du cycliste en fonction du temps.
– Quelle distance franchit-il sur la route horizontale avant de s'arrêter ?

Exercice 2

Un projectile de 80 kg est lancé en l'air verticalement vers le haut. Il est soumis à deux forces : son poids dirigé vers le bas et une force de frottement, due à l'air, opposée au sens de déplacement. Le coefficient de proportionnalité entre la force de frottement et le carré de la vitesse vaut 0.3 kg/m.
– Quelle altitude le projectile atteint-il ?
– Combien de temps met-il pour atteindre le point le plus haut ?
– Combien de temps met-il pour redescendre ?

Exercice 3

Un constructeur fournit les données suivantes pour une voiture :

Caractéristiques techniques
Puissance	325 chevaux
Longueur	443 cm
Largeur	180 cm
Hauteur	131 cm
Cx	0.29
Poids	1510 kg

– Calculez le temps nécessaire à cette voiture pour :

atteindre la vitesse de 100 km/h
atteindre la vitesse de 160 km/h
franchir 400 m départ arrêté
franchir 1000 m départ arrêté.

– Quelle est la vitesse maximale de cette voiture ?

Caractéristiques techniques d'un véhicule

2006-03-07T21:59:49Z

Les constructeurs d'automobiles fournissent des données techniques pour les véhicules qu'ils fabriquent. Ces données comportent en général la puissance et le couple maximum du moteur, les dimensions, le coefficient de forme et la masse du véhicule. Ces données permettent de calculer les performances du véhicule - temps nécessaire pour atteindre une certaine vitesse et pour franchir une certaine distance depuis l'arrêt, vitesse maximale. Il est intéressant de comparer les performances annoncées par le constructeur aux résultats obtenus à l'aide d'un modèle.

Exemple de caractéristiques techniques fournies par un constructeur :

Caractéristiques techniques
Puissance	200 chevaux à 6800 tr/min
Couple	245 Nm à 4000 tr/min
Longueur	488 cm
Largeur	182 cm
Hauteur	142 cm
Cx	0.32
Poids	1600 kg

Le constructeur donne, pour ces caractéristiques, les performances suivantes :

Performances
Vitesse max	228 km/h
0 à 100 km/h	9.3 s
0 à 160 km/h	21.8 s
400 mètres DA	17 s
1000 mètres DA	30.5 s

– Construisez un modèle permettant d'obtenir, en fonction du temps :

la distance parcourue par le véhicule
la vitesse du véhicule
l'accélération du véhicule.

– Comparez les résultats obtenus aux performances annoncées.
– L'accord entre ces résultats et les performances annoncées est-il bon ?
– Commentez les éventuelles différences que vous pourriez constater.

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Réaction chimique oscillante

Le modèle

Caractéristiques techniques d'un véhicule

les caractéristiques fournies par le constructeur

Le modèle

Ajout de la force de frottement au modèle

Données techniques

Performances de la BMW M3-E46 CSL selon STELLA

En résumé

Comment faire varier automatiquement un paramètre ?

Correspondance entre cartes et équations différentielles

$\dot y (t)=c y(t)$

$\ddot y (t)=-\frac{k}{m} y(t)$

Initiation à la modélisation et à SPIP

Forces exercées sur une masse accrochée à un ressort

Repérage de la masse depuis deux systèmes de référence À gauche, l'origine de l'axe coïncide avec l'extrémité libre du ressort. À droite, l'origine de l'axe coïncide avec la position d'équilibre de la masse.

Modèle simulant le mouvement d'un oscillateur harmonique

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse La somme de l'énergie cinétique, élastique et potentielle est constante et correspond à l'énergie mécanique du système qui vaut ici 0 J.

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse La somme de l'énergie cinétique de la masse et élastique du ressort est constante et est égale à l'énergie mécanique du système qui diffère de celle obtenue dans le premier modèle.

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse La somme de l'énergie cinétique de la masse et élastique du ressort est constante et est égale à l'énergie mécanique du système qui diffère de celle obtenue dans le premier modèle.

Tir avec frottement

Modèle du tir avec frottement L'accélération du mobile est définie à partir de ses composantes selon Ox et Oy. Un test sur le signe des composantes de la vitesse permet de fixer le signe des composantes de l'accélération due à la force de frottement, qui est toujours opposée à la vitesse.

Points d'impact pour différents angles de tir L'angle de tir varie de 36 à 40° par pas de 1°. Run specs : From : 0 To : 5 s. DT : 0.005 s. Integration Method : Runge-Kutta 4,

Portée du tir Angle de tir : 38°. Vitesse initiale : 30 m/s. Masse du ballon : 200 g. Rayon du ballon : 15 cm.

Mouvement dans un référentiel tournant

Forces de frottement

Caractéristiques techniques d'un véhicule

Repérage de la masse depuis deux systèmes de référence

À gauche, l'origine de l'axe coïncide avec l'extrémité libre du ressort. À droite, l'origine de l'axe coïncide avec la position d'équilibre de la masse.

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse

La somme de l'énergie cinétique, élastique et potentielle est constante et correspond à l'énergie mécanique du système qui vaut ici 0 J.

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse

La somme de l'énergie cinétique de la masse et élastique du ressort est constante et est égale à l'énergie mécanique du système qui diffère de celle obtenue dans le premier modèle.

Énergies mises en jeu lors de l'oscillation de la masse

La somme de l'énergie cinétique de la masse et élastique du ressort est constante et est égale à l'énergie mécanique du système qui diffère de celle obtenue dans le premier modèle.

Points d'impact pour différents angles de tir

L'angle de tir varie de 36 à 40° par pas de 1°. Run specs : From : 0 To : 5 s. DT : 0.005 s. Integration Method : Runge-Kutta 4,

Portée du tir

Angle de tir : 38°. Vitesse initiale : 30 m/s. Masse du ballon : 200 g. Rayon du ballon : 15 cm.