Pour calculer le champ magnétique produit par des bobines de Helmholtz, nous partons de la formule de Biot-Savart qui ramène formellement le calcul de $\vec{B}$ à la sommation vectorielle des champs $d\vec{B}$ produits par des éléments de courant $Id\vec{s}$. Cette formule donne les éléments de vecteur $d\vec{B}$ correspondant aux différentes portions du conducteur. Par addition vectorielle de ces éléments, on obtient le champ $\vec{B}$ au point P.

$d\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{d\vec{s}\times\vec{r}}{r^3}$

Champ résultant au point $\vec{B}$

Considérons un conducteur en forme de spire parcouru par une courant I. Dessinons les éléments de vecteur $d\vec{B}$ en un point de l’axe de cette spire. Ces éléments sont produits par les différentes portions du conducteur. Formons le champ $\vec{B}$ résultant en additionnant vectoriellement ces éléments :

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Champ $\vec{B}$ créé par une bobine plate sur son axe

Pour un conducteur en forme de boucle, l’angle entre $d\vec{s}$ et $\vec{r}$ est un angle droit. La grandeur de $d\vec{B}$ vaut donc :

$\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{ds}{r^2}$

Seule la composante selon Ox contribue au champ $\vec{B}$ (par symétrie, les composantes selon Oy et Oz s’annulent). Exprimons la composante de $d\vec{B}$ selon Ox :

$dB_x={dB sin\alpha=dB\frac{R_{bobine}}{r}}={\frac{\mu_0 I R_{bobine}}{4\pi}\frac{ds}{r^3}}$

En additionnant toutes les portions ds du conducteur (intégrale de ds sur la boucle) on obtient la circonférence $2\pi R_{bobine}$ de la boucle. La grandeur du champ résultant $\vec{B}$ vaut donc, si la bobine comporte N spires :

$B=\frac{\mu_0 N I}{2}\frac{R^2_{bobine}}{r^3}$

En exprimant r à l’aide de $R_{bobine}$ et de x, on obtient :

$r={\sqrt{R^2_{bobine}+x^2}}$

$B={\frac{\mu_0 N I}{2}\frac{R^2_{bobine}}{(R^2_{bobine}+x^2)^\frac{3}{2}}}$

Champ $\vec{B}$ créé au milieu de bobines de Helmholtz

La configuration « bobines de Helmholtz » est l’association de deux bobines plates identiques séparées par une distance égale à leur rayon sur leur axe commun et montées en série pour que les champs magnétiques s’ajoutent. Le champ sur l’axe au centre de ce dispositif est la somme des champs créés par chaque bobine à la distance $x={\frac{R_{bobine}}{2}}$. En substituant x par cette valeur dans l’expression ci-dessus et en multipliant le résultat par deux, on obtient le champ sur l’axe au centre des bobines de Helmholtz :

$B={\frac{8\mu_0 N I}{5\sqrt{5}R_{bobine}}}$