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Résumé de la lettre, extensions

La méthode de Newton (ou méthode de Newton–Raphson)

Question 1
1. Principe géométrique

L’idée repose sur une approximation linéaire locale de la fonction par sa tangente. Si l’on connaît une estimation $x_{k}$ telle que $f(x_{k})$ soit proche de zéro, on remplace la courbe $y=f(x)$ par sa tangente au point $(x_{k}, f(x_{k}))$. L’intersection de cette tangente avec l’axe des $x$ fournit une meilleure approximation $x_{k+1}$.

Sur le plan, cela correspond à :

• tracer la tangente à la courbe en $x_{k}$ ;
• prolonger cette droite jusqu’à l’axe $x$ ;
• prendre cette abscisse d’intersection comme nouvelle estimation.

2. Formule de récurrence

L’équation de la tangente en $x_{k}$ est [1] :

Le point d’intersection avec l’axe des $x$ correspond à $y=0$, d’où :

Cette formule de Newton définit une suite $(x_{k})$ qui converge vers la racine cherchée $x^{*}$, sous certaines conditions.

3. Conditions de convergence

La méthode converge très rapidement si :

• la fonction $f$ est dérivable et $f’$ non nulle près de la racine ;
• le point de départ $x_{0}$ est suffisamment proche du zéro réel.

Si $f’(x)$ est nulle ou si l’on part trop loin, la méthode peut diverger ou osciller.

4. Exemple : $f(x) = e^{x} - 2$

En partant de $x_{0} = 1.3$, les itérations donnent :

Zéro exact : $x^*=\ln 2 \approx 0{,}69315$. Après trois itérations : $|x_3 -x^*| \approx 6\times 10^{-5}$.

On voit la convergence très rapide vers $\ln(2)$ en seulement trois étapes.

5. Interprétation graphique

Chaque itération correspond à un nouveau contact tangentiel entre la courbe et une droite qui se rapproche du zéro :

• au départ, la tangente part de loin et coupe l’axe assez grossièrement ;
• à chaque étape, la tangente est tracée plus près du zéro réel ;
• la succession des points $(x_{k}, 0)$ montre visuellement la convergence vers la racine.

Cette méthode illustre la puissance des approches itératives en analyse numérique : une simple relation locale (tangente) permet d’obtenir une très bonne précision en quelques étapes.

Question 2

Question 3
Voici la méthode de Newton appliquée à :

$f(x)=x^{2}-1,\qquad f’(x)=2x,\qquad x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f’(x_{k})} =\tfrac{1}{2}\left(x_{k}+\frac{1}{x_{k}}\right),\quad (x_{k}\neq 0).$

Convergence vers $+1$

Remarques

• Sauf si l’on part exactement d’une racine ($\pm1$), on n’atteint pas $1$ en un nombre fini d’itérations : on s’en approche. Le comptage ci-dessus correspond à un arrêt pour $|x-1|\lt10^{-12}$.

• Près de $1$, l’erreur vérifie $e_{k+1}\approx \tfrac{1}{2}\,e_{k}^{2}$, ce qui traduit la convergence quadratique.

• Pour $x_{0}\gt0$, la suite est monotone décroissante vers $1$.
• Pour $x_{0}\lt0$ (et $\neq 0$), elle converge vers $-1$.

Question 4

Itération de Newton pour $f(z)=z^{2}-1$ dans $\mathbb{C}$ avec $z_0\neq 0$. La fonction d’itération de Newton associée à $f(z)=z^2-1$ est :

Sa dérivée s’obtient par différentiation directe :

a) Première estimation avec $\Re(z_0)<0$

On a $1/z=\overline z/|z|^2$ [2]. Donc $\Re(1/z_0)=\Re(z_0)/|z_0|^2<0$, et

La demi-plan gauche est invariant pour l’itération, et la suite converge quadratiquement vers la racine $-1$ car $N’(-1)=0$.

b) Première estimation avec $\Re(z_0)>0$

Même raisonnement. On a $\Re(1/z_0)>0$ donc $\Re(z_1)>0$.
La demi-plan droit est invariant et la suite converge quadratiquement vers la racine $+1$ car $N’(1)=0$.

Le plan complexe est scinde en deux bassins d’attraction :

• Si $\Re(z_0)<0$, convergence vers $-1$.
• Si $\Re(z_0)>0$, convergence vers $+1$.
• Axe imaginaire $\Re(z_0)=0$ : il est invariant.

En effet :

et la suite tend vers $0$ qui n’est pas une racine ; l’algorithme échoue car on finit par viser la singularite $z=0$. En particulier, pour $z_0=\pm i$ on obtient $z_1=0$ en une étape, puis l’itération est impossible.

Remarque
La convergence est quadratique vers $\pm 1$ dès lors que $z_0$ n’est pas sur l’axe imaginaire et $z_0\neq 0$.

Question 5

a) Résoudre l’équation $z^3=1$.
Solutions exactes :

d’où [3] :

Donc :

b) Représentation dans le plan complexe

c) Méthode de Newton pour $z^3=1$.
Pour $f(z)=z^3-1$, on a $f’(z)=3z^2$. L’itération de Newton est

Chaque racine $1$, $\omega=e^{2\pi i/3}$, $\omega^2=e^{4\pi i/3}$ est un point fixe attractif (racines simples) ; il y a convergence quadratique dès que l’on est suffisamment près.

Le plan complexe est partagé en trois bassins d’attraction (symétrie à $120^\circ$) ; pour presque tout $z_0\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ (complémentaire de $0$ dans $\mathbb{C}$), la suite converge vers l’une des trois racines.

Les frontières entre bassins forment un ensemble fractal (ensemble de Julia). Les itérés qui passent par $z=0$ rendent la formule inapplicable (pôle de l’itération).

Question 6

Ce qu’on observe :

• Trois bassins d’attraction (symétrie à 120°). Le rouge menant à $1$, le bleu à $\omega$ et le vert à $\omega^2.$ Si un point de départ $z_0$ est situé dans l’un de ces bassins, même s’il est très loin du centre, il finira par converger vers la solution associée au bassin.
• Les frontières entre les bassin d’attraction forment un ensemble fractal (ensemble de Julia de $N$) : une structure enchevêtrée et autosemblable qui sépare les régions de convergence.
• Près de ces frontières, la convergence devient lente et chaotique : de minuscules variations de $z_0$ changent la racine atteinte.