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301PYos
Oscillations harmoniques
Rapport du 02.03.09

Rapport de physique sur les oscillations harmoniques

Article mis en ligne le 10 mars 2009
dernière modification le 9 mars 2009

par Simon Callegari

Oscillations harmoniques

But :

Déterminer la raideur d’un ressort par la mesure de son élongation, méthode statique, et par la mesure de la période d’oscillation d’une masse accrochée à son extrémité libre, méthode dynamique.

Manipulations :

Après avoir mesuré la hauteur de l’extrémité libre d’un ressort, nous y accrochons différentes masses puis mesurons la différence de hauteur obtenue.

Nous mesurons également les périodes d’oscillation de ces ressorts pour ces différentes masses.

Mesures :

Hauteurs des extrémités libres des ressorts: :

 ressort 1 : 1.045 m

 ressort 2 : 0.995 m

 ressorts 1 et 2 : 0.835 m

masse, kgélongation 1er ressort, mélongation 2eme ressort, mélongation des 2 ressorts en série, m
0.010 0.025 0.005 0.03
0.020 0.05 0.01 0.06
0.050 0.13 0.025 0.155
0.080 0.21 0.04 0.245
0.100 0.26 0.05 0.31

Périodes d’oscillation :

masse, kg1er ressort, s2eme ressort, s
0.010 0.412 0.209
0.020 0.521 0.212
0.050 0.766 0.319
0.080 0.950 0.401
0.100 1.051 0.446

Réponses aux questions :

1. Élongation en fonction de m

Ressort 1 :

Pente=2.61mkg

Ressort 2 :

Pente=0.50mkg

Ressorts 1 et 2 en série :

Pente=3.09mkg

L’équation F=kxF=ma avec a=9.81ms2 nous permet d’obtenir que k=apente

En remplaçant par nos valeur, on obtient pour les différents montages les k suivants :

ressort 1 : k=3.76kgs2

ressort 2 : k=19.62kgs2

ressorts 1 et 2 : k=3.17kgs2

2. Période d’oscillation en fonction de m

Ressort 1 :

Pente=3.41sm

Ressort 2 :

Pente=1.45sm

L’équation T=2πmk nous permet d’obtenir que k=4π2pente2

En remplaçant par nos valeur, on obtient pour les différents montages les k suivants :

ressort 1 : k=3.40kgs2

ressort 2 : k=18.78kgs2

La différence des résultats obtenus avec la méthode statique et la méthode dynamique provient de l’imprécision expérimentale, notamment celle de la mesure de la différence de position de la masse.

3. Équivalente de la constante de rappel du montage en série

Pour exprimer kéq, on utilise l’équation F=kx. On obtient que Fk=x. Sachant que le x du montage en série est égal à x1+x2, on obtient Fkéq=(x1+x2) et enfin Fkéq=Fk1+Fk2, ce qui se simplifie et donne 1kéq=1k1+1k2.

4. Masse permettant de doubler la période d’oscillation

Étant donné que T=2πmk, si l’on souhaite doubler la période T, il faut multiplier mk par 2, ce qui revient à la multiplier par 4. Nous avons donc 2T=2π4mk. Il faut donc multiplier la masse par 4 pour doubler la période d’oscillation T.

De 0.02kg à 0.08kg, la masse quadruple. La période T1 du ressort 1 est multipliée par environ 2.017 et la période T2 du ressort 2 est quand à elle multipliée par environ 1.892. Nous observons donc expérimentalement le quasi doublement de la période double quand la masse quadruple.

5. Vérification de la solution x(t)=Asin(ωt+ϕ) à l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique x¨(t)=ω2x(t)

Premièrement, l’horaire de l’oscillation harmonique est décrit par x(t)=Asin(ωt+ϕ). Si nous dérivons cette expression, nous obtenons v(t)=x˙(t)=ωAcos(ωt+ϕ). Et si nous dérivons encore une fois, nous obtenons a(t)=v˙(t)=x¨(t)=ω2Asin(ωt+ϕ)

Si nous substituons maintenant la fonction x(t)=Asin(ωt+ϕ) dans l’équation différentielle x¨(t)=ω2x(t), nous obtenons x¨(t)=ω2Asin(ωt+ϕ), comme ci-dessus.

L’équation différentielle de l’oscillateur harmonique admet donc bien comme solution la fonction x(t)=Asin(ωt+ϕ).

6. Interprétation physique des grandeurs utilisées

  1. A représente l’amplitude de l’oscillation.
  2. ω représente la vitesse angulaire correspondant à l’oscillation.
  3. ϕ représente un déphasage angulaire de la fonction x(t)=Asin(ωt+ϕ)par rapport à la fonction x(t)=Asin(ωt).

7. Expression de la période T d’oscillation

Partons de l’équation F=ma. Comme F=kx et a=x¨, on peut écrire kx=mx¨. On remplace ensuite x et x¨ par les équations vues au point 5 ci-dessus, ce qui nous donne kAsin(ωt+ϕ)=m(ω2Asin(ωt+ϕ)). Cette expression se simplifie pour donner k=m(ω2), puis ω=km. Puisque nous savons que ω=2πT, nous pouvons écrire 2πT=km. On isole T, et on obtient ainsi l’expression donnant la période d’oscillation T=2πmk.

Conclusion :

Nous avons réussi à déterminer la raideur de deux ressorts différents grâce à la méthode statique et à la méthode dynamique.

Nous avons obtenu par la méthode statique k1=3.76kgs2 et k2=19.62kgs2. Par la méthode dynamique, pour ces mêmes ressorts, nous avons obtenu k1=3.40kgs2 et k2=18.78kgs2.

Les résultats obtenus par les deux méthodes diffèrent respectivement de 9.8% et de 4.3%. Cette différence peut provenir des différentes incertitudes expérimentales, notamment celle de la mesure de la différence de position de la masse. Dans les deux cas, la masse du ressort est négligée. Mais dans la méthode dynamique, les frottements sont négligés. Toutes ces imprécisions contribuent à modifier les différents résultats et contribuent aux écarts observés entre les résultats des deux méthodes.

Quand au montage en série de deux ressorts, nous avons pu établir la correspondance entre les constantes de rappel des deux ressorts et la constante équivalente : 1kéq=1k1+1k2.


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