Oscillations harmoniques

But :

Déterminer la raideur d’un ressort par la mesure de son élongation, méthode statique, et par la mesure de la période d’oscillation d’une masse accrochée à son extrémité libre, méthode dynamique.

Manipulations :

Après avoir mesuré la hauteur de l’extrémité libre d’un ressort, nous y accrochons différentes masses puis mesurons la différence de hauteur obtenue.

Nous mesurons également les périodes d’oscillation de ces ressorts pour ces différentes masses.

Mesures :

Hauteurs des extrémités libres des ressorts: :

– ressort 1 : 1.045 m

– ressort 2 : 0.995 m

– ressorts 1 et 2 : 0.835 m

masse, kg	élongation 1er ressort, m	élongation 2eme ressort, m	élongation des 2 ressorts en série, m
0.010	0.025	0.005	0.03
0.020	0.05	0.01	0.06
0.050	0.13	0.025	0.155
0.080	0.21	0.04	0.245
0.100	0.26	0.05	0.31

Périodes d’oscillation :

masse, kg	1er ressort, s	2eme ressort, s
0.010	0.412	0.209
0.020	0.521	0.212
0.050	0.766	0.319
0.080	0.950	0.401
0.100	1.051	0.446

Réponses aux questions :

1. Élongation en fonction de $m$

Ressort 1 :

Pente=2.61$\frac{m}{kg}$

Ressort 2 :

Pente=0.50$\frac{m}{kg}$

Ressorts 1 et 2 en série :

Pente=3.09$\frac{m}{kg}$

L’équation $F=-kx$ où $F=ma$ avec $a=-9.81\frac{m}{s^2}$ nous permet d’obtenir que $k=-\frac{a}{pente}$

En remplaçant par nos valeur, on obtient pour les différents montages les k suivants :

ressort 1 : k=3.76$\frac{kg}{s^2}$

ressort 2 : k=19.62$\frac{kg}{s^2}$

ressorts 1 et 2 : k=3.17$\frac{kg}{s^2}$

2. Période d’oscillation en fonction de $\sqrt{m}$

Ressort 1 :

Pente=3.41$\frac{s}{\sqrt{m}}$

Ressort 2 :

Pente=1.45$\frac{s}{\sqrt{m}}$

L’équation $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ nous permet d’obtenir que $k=\frac{4{\pi }^2}{pent{e}^2}$

En remplaçant par nos valeur, on obtient pour les différents montages les k suivants :

ressort 1 : k=3.40$\frac{kg}{s^2}$

ressort 2 : k=18.78$\frac{kg}{s^2}$

La différence des résultats obtenus avec la méthode statique et la méthode dynamique provient de l’imprécision expérimentale, notamment celle de la mesure de la différence de position de la masse.

3. Équivalente de la constante de rappel du montage en série

Pour exprimer $k_{éq}$, on utilise l’équation $F=-kx$. On obtient que $\frac{F}{k}=-x$. Sachant que le x du montage en série est égal à $x_1+x_2$, on obtient $\frac{F}{k_{éq}}=-(x_1+x_2)$ et enfin $\frac{F}{k_{éq}}=\frac{F}{k_1}+\frac{F}{k_2}$, ce qui se simplifie et donne $\frac{1}{k_{éq}}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$.

4. Masse permettant de doubler la période d’oscillation

Étant donné que $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$, si l’on souhaite doubler la période T, il faut multiplier $\sqrt{\frac{m}{k}}$ par 2, ce qui revient à la multiplier par $\sqrt{4}$. Nous avons donc $2T=2\pi \sqrt{\frac{4m}{k}}$. Il faut donc multiplier la masse par 4 pour doubler la période d’oscillation T.

De 0.02kg à 0.08kg, la masse quadruple. La période $T_1$ du ressort 1 est multipliée par environ 2.017 et la période $T_2$ du ressort 2 est quand à elle multipliée par environ 1.892. Nous observons donc expérimentalement le quasi doublement de la période double quand la masse quadruple.

5. Vérification de la solution $x(t)=Asin(\omega t+\varphi )$ à l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique $\ddot{x}(t)=-{\omega }^{2}x(t)$

Premièrement, l’horaire de l’oscillation harmonique est décrit par $x(t)=Asin(\omega t+\varphi )$. Si nous dérivons cette expression, nous obtenons $v(t)=\dot{x}(t)=\omega Acos(\omega t+\varphi )$. Et si nous dérivons encore une fois, nous obtenons $a(t)=\dot{v}(t)=\ddot{x}(t)=-{\omega }^{2}Asin(\omega t+\varphi )$

Si nous substituons maintenant la fonction $x(t)=Asin(\omega t+\varphi )$ dans l’équation différentielle $\ddot{x}(t)=-{\omega }^{2}x(t)$, nous obtenons $\ddot{x}(t)=-{\omega }^{2}Asin(\omega t+\varphi )$, comme ci-dessus.

L’équation différentielle de l’oscillateur harmonique admet donc bien comme solution la fonction $x(t)=Asin(\omega t+\varphi )$.

6. Interprétation physique des grandeurs utilisées

1. $A$ représente l’amplitude de l’oscillation.
2. $\omega$ représente la vitesse angulaire correspondant à l’oscillation.
3. $\varphi$ représente un déphasage angulaire de la fonction $x(t)=Asin(\omega t+\varphi )$par rapport à la fonction $x(t)=Asin(\omega t)$.

7. Expression de la période T d’oscillation

Partons de l’équation $F=ma$. Comme $F=-kx$ et $a=\ddot{x}$, on peut écrire $-kx=m\ddot{x}$. On remplace ensuite $x$ et $\ddot{x}$ par les équations vues au point 5 ci-dessus, ce qui nous donne $-kAsin(\omega t+\varphi )=m(-{\omega }^{2}Asin(\omega t+\varphi ))$. Cette expression se simplifie pour donner $-k=m(-{\omega }^2)$, puis $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$. Puisque nous savons que $\omega =\frac{2\pi }{T}$, nous pouvons écrire $\frac{2\pi }{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}$. On isole T, et on obtient ainsi l’expression donnant la période d’oscillation $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.

Conclusion :

Nous avons réussi à déterminer la raideur de deux ressorts différents grâce à la méthode statique et à la méthode dynamique.

Nous avons obtenu par la méthode statique $k_1=3.76\frac{kg}{s^2}$ et $k_2=19.62\frac{kg}{s^2}$. Par la méthode dynamique, pour ces mêmes ressorts, nous avons obtenu $k_1=3.40\frac{kg}{s^2}$ et $k_2=18.78\frac{kg}{s^2}$.

Les résultats obtenus par les deux méthodes diffèrent respectivement de 9.8% et de 4.3%. Cette différence peut provenir des différentes incertitudes expérimentales, notamment celle de la mesure de la différence de position de la masse. Dans les deux cas, la masse du ressort est négligée. Mais dans la méthode dynamique, les frottements sont négligés. Toutes ces imprécisions contribuent à modifier les différents résultats et contribuent aux écarts observés entre les résultats des deux méthodes.

Quand au montage en série de deux ressorts, nous avons pu établir la correspondance entre les constantes de rappel des deux ressorts et la constante équivalente : $\frac{1}{k_{éq}}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$.