Lorsqu’on connaît les équations horaires de deux mobiles, il est possible de répondre aux questions suivantes : les mobiles se rencontreront-ils ? Combien de temps après leur départ ? Où la rencontre aura-t-elle lieu ?

Vous visez une cible située à une certaine hauteur. Lorsque le coup part, la cible entame une chute libre. Si les forces de frottement sont négligeables, le projectile et la cible subissent la même accélération. Quelle que soit la vitesse initiale du projectile, il atteindra la cible visée !

Équations horaires

Choisissons l’origine du temps à l’instant de départ des deux mobiles et l’origine du référentiel au point de départ du projectile. Désignons par ${\overrightarrow{v}}_0$ la vitesse initiale du projectile et par $\overrightarrow{d}$ le vecteur position de la cible avant son départ. Les horaires de la cible et du projectile sont respectivement :

a) Cible

b) Projectile

Le projectile touchera la cible si, pour une valeur positive de t, les vecteurs ${\overrightarrow{r}}_1$ et ${\overrightarrow{r}}_2$ sont égaux :

ou encore, après simplification :

Cette dernière équation vectorielle permet de trouver les temps de vol pour les différentes vitesses initiales. En théorie, la bille atteint invariablement la cible visée. La durée du parcours et le point de rencontre dépendent évidemment de la position initiale de la cible et de la grandeur de ${\overrightarrow{v}}_0$.

Résolution de l’équation vectorielle avec Mathematica

Calcul du temps de vol et coordonnées du point de rencontre