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La machine d’Atwood
Rapport de physique sur la machine d’Atwood.

Rapport de physique du 1.12.08. La machine d’Atwood.

Article mis en ligne le 12 décembre 2008
dernière modification le 13 décembre 2008

par Simon Callegari

But : Déterminer la relation entre l’accélération d’une machine d’Atwood et les masses qu’elle contient, puis calculer la gravitation terrestre g.

Méthode : Nous utilisons une machine d’Atwood, pour laquelle nous négligeons les masses de la poulie et du fil ainsi que tous les frottements, afin de :

– Mesurer les accélérations pour différentes masses $m_{1}$ et $m_{2}$ sans changer leur masse totale $m_{T}=m_{1}+m_{2}$.

– Mesurer les accélérations pour différentes masses $m_{1}$ et $m_{2}$ sans changer la différence de masse $\Delta m=|m_{2}-m_{1}|$.

– Représenter graphiquement $a$ en fonction de $\Delta m$ puis en fonction de $1/m_{T}$

– À l’aide de ces graphiques, établir la relation entre $a$, $m_{1}$ et $m_{2}$

Manipulations et mesures :

Pour obtenir l’accélération de la masse de droite, nous utilisons l’équation $h=\frac{1}{2}at^{2} \Rightarrow a=\frac{2h}{t^{2}}$
avec pour hauteur de chute 0.91 m

Expérience 1 :

Nombre de surcharges à gauche m1 kg Nombre de surcharges à droite m2 kg mT kg Δm (m2-m1) kg t1 s t2 s t3 s a1 m/s2 a2 m/s2 a3 m/s2 am m/s2
0 0.060 11 0.071 0.131 0.011 1.5 1.6 1.4 0.81 0.71 0.93 0.82
1 0.061 10 0.070 0.131 0.090 1.7 1.6 1.6 0.63 0.71 0.71 0.68
2 0.062 9 0.069 0.131 0.070 1.6 1.8 1.7 0.71 0.56 0.63 0.63
3 0.063 8 0.068 0.131 0.050 1.1 1.1 1.0 1.50 1.50 1.82 1.61
4 0.064 7 0.067 0.131 0.030 2.7 2.8 2.9 0.25 0.23 0.22 0.23
5 0.065 6 0.066 0.131 0.010 4.7 4.6 4.8 0.08 0.09 0.08 0.08
6 0.066 5 0.065 0.131 -0.010 6.4 6.5 6.6 0.04 0.04 0.04 0.04
7 0.067 4 0.064 0.131 -0.030 3.0 3.1 3.0 0.20 0.19 0.20 0.20
8 0.068 3 0.063 0.131 -0.050 2.2 2.3 2.2 0.38 0.34 0.38 0.37
9 0.069 2 0.062 0.131 -0.070 1.6 1.7 1.8 0.71 0.63 0.56 0.63
10 0.070 1 0.061 0.131 -0.090 1.6 1.5 1.7 0.71 0.81 0.63 0.72
11 0.071 0 0.060 0.131 -0.011 1.5 1.5 1.4 0.81 0.81 0.93 0.85

Expérience 2 :

Nombre de surcharges à gauche et à droite m1 kg m2 kg Δm (m2-m1) kg mT kg 1/mT 1/kg t1 s t2 s t3 s a1 m/s2 a2 m/s2 a3 m/s2 am m/s2
0 0.060 0.070 0.010 0.130 7.69 1.5 1.5 1.6 0.81 0.81 0.71 0.78
1 0.070 0.080 0.010 0.150 6.67 1.5 1.6 1.6 0.81 0.71 0.71 0.74
2 0.080 0.090 0.010 0.170 5.88 1.7 1.6 1.6 0.63 0.71 0.71 0.68
3 0.090 0.100 0.010 0.190 5.26 1.6 1.7 1.6 0.71 0.63 0.71 0.68
4 0.100 0.110 0.010 0.210 4.76 1.8 1.9 2.0 0.56 0.50 0.46 0.51
5 0.110 0.120 0.010 0.230 4.35 1.8 2.0 2.0 0.56 0.46 0.46 0.49
6 0.120 0.130 0.010 0.250 4.00 2.1 2.0 2.1 0.41 0.46 0.41 0.43
7 0.130 0.140 0.010 0.270 3.70 2.1 2.2 2.0 0.41 0.38 0.46 0.42
8 0.140 0.150 0.010 0.290 3.45 2.2 2.1 2.3 0.38 0.41 0.34 0.38
9 0.150 0.160 0.010 0.310 3.23 2.2 2.3 2.2 0.38 0.34 0.38 0.37
10 0.160 0.170 0.010 0.330 3.03 2.5 2.4 2.4 0.29 0.32 0.32 0.31

Exploitation des mesures :

– $a$ en fonction de $\Delta m$ dans l’expérience 1 :

$a$ augmente proportionnellement à la différence de masse entre m1 et m2.

Nous pouvons donc écrire $a=c \Delta m$ où $c$ est une constante.

– $a$ en fonction de $\frac {1}{m_{T}}$ dans l’expérience 2 :

$a$ augmente proportionnellement à l’inverse de la masse totale mT.

Nous pouvons donc écrire $a=c\frac{1}{m_T}$ où $c$est une constante.

– Nous pouvons finalement combiner les deux formules précédentes pour obtenir que $a=c\frac{\Delta m}{m_T}$ où c est une constante.

Réponses aux questions :

– Schéma de la machine d’Atwood :

– Force résultante sur la machine d’Atwood : $F=ma$

– Si on applique à cette machine la deuxième loi de Newton, on a pour la grande masse $m_2 g-T=m_2 a$ et pour la petite $m_1 g-T=-m_1 a$

En éliminant T entre les deux équations, on obtient l’accélération
$a=g\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}$ ce qui est équivalent à $a=g\frac{\Delta m}{m_T}$

– La pente du graphique de l’expérience 1 $a$ en fonction de $\Delta m$ est égale à 9.8 et représente l’accélération gravitationnelle de la Terre.

– La valeur moyenne de la gravitation terrestre figurant dans les table est de 9,81 $\frac{m}{s^2}$. L’erreur relative de notre résultat est donc de 0.1%.

Conclusion :

Nous avons réussi à déterminer la relation entre l’accélération d’une machine d’Atwood et les masses qu’elle contient. Cette accélération est égale à $a=g\frac{\Delta m}{m_T}$. Nous avons également obtenu la valeur de 9,81 $\frac{m}{s^2}$ pour la gravitation terrestre en exploitant la pente du graphique représentant l’accélération de la masse m2 en fonction de la différence de masse entre m2 et m1. Ce résultat est étonnement proche de la réalité, avec une incertitude relative de 0.1% seulement.