– Champ : dynamique du solide rigide
– Documents autorisés : Tables numériques CRM. Calculette.

Énoncé

Un dispositif formé de deux sphères reliées par une tige horizontale peut tourner librement sans frottement autour d’un axe vertical.

Question 1 (8 points)

1. Exprimez le moment d’inertie de chaque composant par rapport à l’axe.
2. Donnez l’expression du moment d’inertie total du dispositif.
3. Calculez ces moments d’inertie ainsi que le moment d’inertie total.

Question 2 (9 points)

On exerce un couple de force constant de moment $\mathcal{M}$ sur l’axe vertical du dispositif initialement immobile.

1. Exprimez l’accélération angulaire du dispositif.
2. Calculez cette accélération angulaire. [1]
3. Exprimez la vitesse angulaire $\omega$ en fonction du temps.
4. Calculez cette vitesse angulaire après 1 seconde.
5. Exprimez l’angle de rotation $\theta$ en fonction du temps.
6. Calculez l’angle décrit par le dispositif après 1 seconde.

Question 3 (8 points)

On associe un ressort spiral qui exerce un couple de rappel de moment $\mathcal{M}_{rappel}=-C\theta$ sur l’axe lorsqu’il a tourné d’un angle $\theta$. On écarte le dispositif d’un angle $\theta_{max}$ de sa position d’équilibre avant de livrer le système à lui-même.

1. Exprimez l’évolution de l’écart angulaire $\theta(t).$
2. Donnez la période d’oscillation du dispositif.
3. Calculez cette période pour $C=8.68 \times 10^{-3}$ Nm.
4. Exprimez la vitesse angulaire maximale $\omega_{max}$ du dispositif.
5. Calculez cette vitesse $\omega_{max}$ pour une amplitude angulaire $\theta_{max}$=90°.

Données numériques
– rayon des sphères $r_s=2$ cm
– masse volumique des sphères $\rho_s=7.86$ g/cm³
– longueur de la tige reliant les deux sphères $2{h}=10$ cm
– masse volumique de la tige $\rho_{tige}=7.1$ g/cm³
– masse de l’axe de rotation $m_{axe}=300$ g
– rayon de la tige et rayon de l’axe $r= 3$ mm
– moment du couple exercé sur l’axe $\mathcal{M}=2 \times 10^{-3}$ Nm