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Ressources pour les enseignants et les élèves du secondaire II.

Journées hors-cadre 2009-2010
Toulouse
Programme. Coût de l’opération

Déplacement à Toulouse en avion. Visite de la Cité de l’Espace et des halles de montage de l’airbus A380. Bilan.

Article mis en ligne le 16 janvier 2010
par bernard.vuilleumier, Francesco Huber par

Journées hors-cadre du 25 au 29 avril 2010
Déplacement à Toulouse en avion. Visite de la Cité de l’Espace et des halles de montage de l’airbus A380. Les élèves ont rédigé des propositions de visites culturelles avant le voyage. Ils ont relaté leur semaine hors-cadre au retour. Ce travail a fait l’objet d’une évaluation et la note obtenue comptera dans une des disciplines de l’option spécifique « physique, applications des mathématiques ».


Programme officiel

Dimanche 25 avril

 Départ de Cointrin 12h25. Tout le monde était présent. Le vol s’est bien déroulé !
 Arrivée à Toulouse 13h40. Nous avons acquis les cartes de bus (140 €) [1]
 Achat des cartes « tribu » à la gare Matabiau (50.40 €)

Hôtel
Nous sommes descendus à l’hôtel des Ambassadeurs. Accueil chaleureux. Nous payons le solde 442.40 €. Nous distribuons 40 € à chaque élève pour les repas.

Lundi 26 avril
 Visite de la Cité de l’Espace

    • 09h30 - 11h30 visite libre. De la Terre à l’espace. Communiquer à distance. Observer la Terre. Pôle météo. Vivre dans l’espace. Explorer l’Univers.
    • 11h30 - 12h30 déjeuner au restaurant
    • 14h00 Imax (film en 3D sur la station spatiale ISS)
    • 15h30 Planétarium : des planètes aux galaxies

Mardi 27 avril
 visite de Toulouse. Place du Capitole. Salle des Illustres et salle des mariages. Couvent des Jacobins. Pont Neuf. Cour intérieure de l’Hôtel Assezat. Place Esquirol

Mercredi 28 avril
 Atelier. 4 problèmes à examiner :

    • poussée de l’Airbus A319
    • poussée de la fusée Saturne V
    • période d’un satellite en orbite basse
    • vitesse d’un satellite géostationnaire

 Visite des halles de montage de l’airbus A380. Bus 70 jusqu’à Georges Brassens, puis 20 minutes de marche.

    • 13h30 Mach 2
    • 15h00 Airbus A380

Jeudi 29 avril
 Matinée libre, sauf pour les élèves qui n’ont pas participé à l’atelier mercredi matin : ils passent un test noté (en ligne sur Moodle) sur les notions révisées dans l’atelier du mercredi matin.
 Retour à Genève à 15h20 comme prévu.

Introduction à la modélisation
Oscillateur harmonique
Comment identifier un problème numérique

Modèle permettant de simuler les oscillations d’une masse accrochée à un ressort.

Article mis en ligne le 3 juillet 2005

Certains modèles peuvent donner lieu à des comportements aberrants en raison de problèmes numériques. C’est le cas du modèle de l’oscillateur harmonique si l’on ne prend pas les bonnes précautions.


Considérons une masse m accrochée à un ressort et faisons coïncider l’origine de l’axe x qui permettra de repérer sa position avec la position d’équilibre de la masse. Si on néglige le frottement dû à l’air, la masse subit deux forces :
 son poids P=mg dirigé vers le bas
 une force de rappel F=-kx due au ressort.

La constante de proportionnalité k entre l’écart x de la masse par rapport à sa position d’équilibre et la force de rappel est appelée « raideur » du ressort. Le signe « moins » signale que la force de rappel est toujours opposée au déplacement x de la masse.

La relation fondamentale de la dynamique permet de définir l’accélération de la masse à partir des forces qui agissent sur elle. L’intégration de cette accélération sur le temps fournit la vitesse de la masse, puis, l’intégration de cette vitesse donne sa position x par rapport à la position d’équilibre. Le modèle Stella se présente donc ainsi :

Modèle d’oscillateur harmonique
Une masse accrochée à un ressort subit deux forces : son poids et une force de rappel proportionnelle à l’écart x par rapport à sa position d’équilibre.

Modèle d’oscillateur harmonique : une masse accrochée à un ressort subit deux forces : son poids et une force de rappel proportionnelle à l’écart x par rapport à sa position d’équilibre.

En choisissant une masse m de 1 kg et une raideur k de 2.47 N/m, en plaçant la masse en x0=0 avec une vitesse initiale v0=0 et en lançant la simulation, nous obtenons les horaires suivants pour la position x et la vitesse v de la masse :

Horaires de la position et de la vitesse de la masse
Ces deux horaires sont manifestement faux ! Un oscillateur auquel on ne fournit pas d’énergie ne peut ni augmenter son amplitude d’oscillation ni accroître la grandeur de sa vitesse maximale.

Horaires de la position et de la vitesse de la masse : ces deux horaires sont manifestement faux ! Un oscillateur auquel on ne fournit pas d’énergie ne peut ni augmenter son amplitude d’oscillation ni accroître la grandeur de sa vitesse maximale.

L’horaire de la position fait état d’une augmentation d’amplitude et celui de la vitesse d’un accroissement de la grandeur de la vitesse maximale de la masse lorsqu’elle passe par sa position d’équilibre ! Or, dans ce modèle, l’énergie mécanique de l’oscillateur (énergie potentielle de gravitation + énergie cinétique) devrait rester constante car il n’y a aucune source d’énergie ! Il s’agit d’un artefact lié à l’intégration numérique.

Conclusion

Dans tous les modèles, mais plus particulièrement dans ceux permettant de simuler des oscillations, il faut être attentif aux risques d’erreurs liées entre autres aux méthodes numériques. Un bon moyen de savoir si la méthode utilisée est appropriée consiste à diviser le pas d’intégration par deux. Si le comportement simulé change, vous avez affaire à un problème d’intégration numérique, et tant que ce comportement dépend du pas d’intégration, la méthode est inappropriée.

Activités
 Construisez un modèle Stella d’oscillateur harmonique.
 Simulez le mouvement de ce dernier en adoptant :

  • la méthode d’Euler
  • la méthode de Runge-Kutta d’ordre 2
  • la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4

et en utilisant différents pas d’intégration avec chacune de ces méthodes.

Voir aussi :
 L’oscillateur harmonique
 Rotation et oscillation
 Le saut à l’élastique
 Saut à l’élastique, cas général
 Circuit électrique et oscillateur harmonique
 Oscillations
 Exercices sur les oscillations harmoniques

From Wolfram Demonstrations Project :
 Harmonic Oscillation
 Superposition of Waves


Wolfram Demonstrations Project : mode d’emploi