Journées hors-cadre du 25 au 29 avril 2010
Déplacement à Toulouse en avion. Visite de la Cité de l’Espace et des halles de montage de l’airbus A380. Les élèves ont rédigé des propositions de visites culturelles avant le voyage. Ils ont relaté leur semaine hors-cadre au retour. Ce travail a fait l’objet d’une évaluation et la note obtenue comptera dans une des disciplines de l’option spécifique « physique, applications des mathématiques ».

Programme officiel

Dimanche 25 avril

– Départ de Cointrin 12h25. Tout le monde était présent. Le vol s’est bien déroulé !
– Arrivée à Toulouse 13h40. Nous avons acquis les cartes de bus (140 €) [1]
– Achat des cartes « tribu » à la gare Matabiau (50.40 €)

Hôtel
Nous sommes descendus à l’hôtel des Ambassadeurs. Accueil chaleureux. Nous payons le solde 442.40 €. Nous distribuons 40 € à chaque élève pour les repas.

Lundi 26 avril
– Visite de la Cité de l’Espace

• • 09h30 - 11h30 visite libre. De la Terre à l’espace. Communiquer à distance. Observer la Terre. Pôle météo. Vivre dans l’espace. Explorer l’Univers.
  • 11h30 - 12h30 déjeuner au restaurant
  • 14h00 Imax (film en 3D sur la station spatiale ISS)
  • 15h30 Planétarium : des planètes aux galaxies

Mardi 27 avril
– visite de Toulouse. Place du Capitole. Salle des Illustres et salle des mariages. Couvent des Jacobins. Pont Neuf. Cour intérieure de l’Hôtel Assezat. Place Esquirol

Mercredi 28 avril
– Atelier. 4 problèmes à examiner :

• • poussée de l’Airbus A319
  • poussée de la fusée Saturne V
  • période d’un satellite en orbite basse
  • vitesse d’un satellite géostationnaire

– Visite des halles de montage de l’airbus A380. Bus 70 jusqu’à Georges Brassens, puis 20 minutes de marche.

• • 13h30 Mach 2
  • 15h00 Airbus A380

Jeudi 29 avril
– Matinée libre, sauf pour les élèves qui n’ont pas participé à l’atelier mercredi matin : ils passent un test noté (en ligne sur Moodle) sur les notions révisées dans l’atelier du mercredi matin.
– Retour à Genève à 15h20 comme prévu.

Un modèle Stella correspond en général à une équation différentielle. Un flux intègre numériquement la fonction qui le définit et le réservoir auquel il est associé donne le résultat de l’opération au cours du temps.

Équation du premier ordre : le mécanisme de base de Stella

En associant un flux à un réservoir y et en établissant un lien entre le réservoir et le flux, on peut définir une relation entre une fonction $y(t)$ (le réservoir) et sa dérivée $\dot y (t)=\frac{dy}{dt}$ (le flux). En écrivant par exemple flux=y on obtient un modèle qui correspond à l’équation différentielle :

$\dot y (t)=c y(t)$

où c est une constante de proportionnalité entre le flux et le réservoir. En notation Mathematica, cette équation s’écrit :

N. B. La dérivée d’une fonction $y(t)$ par rapport au temps se note habituellement $\dot y (t)$ en physique. Dans Mathematica, la dérivée d’une fonction $y$, quelle que soit la variable indépendante ($t$, $x$, …) se note toujours $y$’ et l’égalité se traduit par deux signes « égal », l’usage d’un seul signe étant réservé à l’opération d’affectation.

Équation du deuxième ordre

L’équation du mouvement d’un objet accroché à un ressort par exemple, qui s’obtient à partir de la relation fondamentale de la dynamique $\Sigma \vec F=m\vec a$ est du deuxième ordre. Elle s’écrit, si on néglige tout frottement :

$\ddot y (t)=-\frac{k}{m} y(t)$

où $k$ est la raideur du ressort et $m$ la masse de l’objet. En notation Mathematica, cela donne :

Mathematica permet de résoudre cette équation et donne la solution sous forme d’une fonction :

Stella intègre numériquement cette équation à l’aide du modèle suivant :

dans lequel on aura par exemple posé :

k = 5
m = 0.2
a = -k/m*y
INIT v = 0
flux_v = v
INIT y = 0.1

et fournit les valeurs prises par la fonction $y(t)$ au cours du temps :

N. B. L’intégration numérique peut donner lieu à des comportements aberrants si le pas et la méthode d’intégration ne sont pas convenablement choisis.

Conclusion

Résoudre une équation différentielle revient à trouver une fonction inconnue $y(t).$ Une équation différentielle peut s’exprimer de différentes manières. Le logiciel Stella représente ce type d’équations à l’aide de « flux » reliés à des « réservoirs ». Dans un modèle comportant un flux relié à un réservoir, le flux est équivalent à la dérivée $\dot y (t)$ de la fonction et le réservoir représente la fonction inconnue $y(t).$ Mathematica est capable de trouver et d’exprimer la fonction inconnue $y(t).$ Stella ne donne que les valeurs numériques prises par la fonction $y(t)$ au cours du temps.